19在温度T=0°C和压强p=1pn下,空气密度p=1.29Kgm3.空气定压比 热容cn=0998JKg·K-,y=141.今有体积V=27m3的空气,试计算: (1)维持体积不变,将空气由0℃加热到T=20°C所需热量 (2)维持压强不变,将空气由0°℃加热到T=20℃C所需热量 (3)若容器有裂缝,将空气由0℃缓慢加热到T=20C所需热量 (1)定容过程Q=cmdT=P8(T-7)=4920×10°J (2)定压过程Q=cmdT=cP(T-)=6937×10°J (3)加热部分定压膨胀,由理想气体物态方程m=n=20,m=pF, 0=S c mdt= -, Pv o dT=cp PVT In 7=6.678x105J 1.10抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入.当压强达到外界压强P 时,将活门关上.试证明:小匣内的空气在与外界交换热量之前,其内能U 与原来在大气中的内能之差为U-U=P0,其中V是它原来在大气中的 体积.若气体是理想气体,求它的温度T和体积V 解 将冲入小匣内的空气作为系统.过程进行很快,可视为绝热.起初冲 入空气与小匣占据的总体积为V+V,过程结束后体积压缩为T,所以外 界做功W=PV.根据第一定律,U-U。=W=PbV 对理想气体,△U=C(T-1))(T-7),物态方程为p=nRT, PV=nRT.由此解得T=y70,V=y 1.12满足pV"=C的过程称为多方过程,其中n为多方指数.试证:在某一过 程中理想气体热容量Cn若是常数,该过程一定是多方过程,其中多方指数 C-C 假设气体的定压热容量和定容热容量是常数 解 由物态方程 pV=VRT (1.1) 两边微分得
1 1.9 在温度 0 T = 0 CD 和压强 n p =1p 下，空气密度 3 0 ρ 1.29 Kg m− = ⋅ ．空气定压比 热容 1 1 cp 0.996 J Kg K − − = ⋅⋅ ，γ =1.41．今有体积 3 V = 27 m 的空气，试计算： (1) 维持体积不变，将空气由0 CD 加热到T = 20 CD 所需热量． (2) 维持压强不变，将空气由0 CD 加热到T = 20 CD 所需热量． (3) 若容器有裂缝，将空气由0 CD 缓慢加热到T = 20 CD 所需热量． 解： (1) 定容过程 0 5 0 00 d ( ) 4.920 10 J T p V T c Q cm T VT T ρ γ = = −= × ∫ ． (2) 定压过程 0 5 0 00 d ( ) 6.937 10 J T p p T Q cm T c VT T = = −= × ρ ∫ ． (3) 加热部分定压膨胀，由理想气体物态方程 0 0 0 m n T mnT = = ， 0 0 T m V T = ρ ， 0 0 0 5 0 00 0 d d ln 6.678 10 J T T pp p T T T T Q c m T c V T c VT T T = = = =× ρ ρ ⌠ ⌡ ∫ ． 1.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入．当压强达到外界压强 0 p 时，将活门关上．试证明：小匣内的空气在与外界交换热量之前，其内能U 与原来在大气中的内能之差为U U pV − =0 00 ，其中V0 是它原来在大气中的 体积．若气体是理想气体，求它的温度T 和体积V ． 解： 将冲入小匣内的空气作为系统．过程进行很快，可视为绝热．起初冲 入空气与小匣占据的总体积为V V+ 0 ，过程结束后体积压缩为V ，所以外 界做功W pV = 0 0．根据第一定律，U U W pV − == 0 00 ． 对理想气体，∆ 0 0 () () 1 V nR U CT T T T γ = −= − − ，物态方程为 00 0 p V nRT = ， 0 p V nRT = ．由此解得T T0 = γ ，V V0 = γ ． 1.12 满足 n pV C= 的过程称为多方过程，其中n 为多方指数．试证：在某一过 程中理想气体热容量Cn 若是常数，该过程一定是多方过程，其中多方指数 n p n V C C n C C − = − ．假设气体的定压热容量和定容热容量是常数． 解： 由物态方程 pV RT =ν (1.1) 两边微分得
pdv+vdp=vRdT (12) 两式相除得 dv dp dT P 理想气体dU=Cdr,多方过程d=CdT·根据第一定律 CndT=Cd7+pd,利用(11)和(1.3),得到 dv (Cn-CP/+(C, -Cr) 这里还利用了理想气体Cn-C=vR C-C 令n ,(14)简化为 dv dp P 积分即得多方过程方程.命题得证 1.21温度T=0°C,质量m=1Kg的水与温度T=100℃C的恒温热源接触后,水 温达到100°℃.试分别求水和热源的熵变和整个系统的总熵变.欲使整个 系统的熵保持不变,应如何使水温从0°C升至100℃C?已知水的比热容为 Cn=4.18J·Kg 解 分别用可逆等压过程和可逆等温过程联系水和热源的初终态.热源放 出的热量等于水吸收的热量 T -dT=c. mln-0=1304JK- △S=m(T)=c,01 1120J.K T △S8=△S水+△S热=184JK 欲使△Sa=0,过程必须可逆应使水由低到高依次与0℃C至100°C范 围内温差为无穷小的一系列热源接触,使水吸热过程中始终与接触热源处 于无限接近平衡态的状态 123均匀杆两端温度分别为T和72试计算达到均匀温度+T2后的熵变
2 pdd d V Vp RT + =ν ， (1.2) 两式相除得 d dd VpT V pT + = ． (1.3) 理想气体 d d U CT = V ，多方过程 d d QCT = n ．根据 第一定律 ， d dd C T C T pV n V = + ，利用(1.1)和(1.3)，得到 ( ) ( ) d d 0 n p nV V p CC CC V p − +− = ， (1.4) 这里还利用了理想气体CC R p V − =ν ． 令 n p n V C C n C C − = − ，(1.4)简化为 d d 0 V p n V p + = ， (1.5) 积分即得多方过程方程．命题得证． 1.21 温度 1 T = 0 CD ，质量m =1 Kg 的水与温度 0 T =100 CD 的恒温热源接触后，水 温达到100 CD ．试分别求水和热源的熵变和整个系统的总熵变．欲使整个 系统的熵保持不变，应如何使水温从0 CD 升至100 CD ？已知水的比热容为 1 1 cp 4.18 J Kg K − − = ⋅⋅ ． 解： 分别用可逆等压过程和可逆等温过程联系水和热源的初终态．热源放 出的热量等于水吸收的热量． 0 1 0 1 1 ∆ d ln 1304 J K T p p T c m T S T cm T T − = = =⋅ ⌠ ⌡ 水 ． ( ) 0 1 1 1 0 0 ∆ 1 1120 J K p p cmT T T S cm T T − − =− =− − =− ⋅ 热源 ． 1 ∆∆∆ SSS 184 J K− 总 =+ = ⋅ 水 热源 ． 欲使∆S总 = 0 ，过程必须可逆．应使水由低到高依次与0 CD 至100 CD 范 围内温差为无穷小的一系列热源接触，使水吸热过程中始终与接触热源处 于无限接近平衡态的状态． 1.23 均匀杆两端温度分别为T1和T2 ．试计算达到均匀温度 1 2 2 T T+ 后的熵变． 解：
均匀杆的初始温度分布为T(x)= 1-x)T+x2 dx段的定压热容量 dC=-d T dT △S f+2-21n2-hn+1 (-x)+x2T T-T 126有两个相同的物体,热容量为常量,初始温度同为T,今令一致冷机在此 两物体间工作,使其中一个物体温度降低到T2为止.假设物体维持在定压 下,并且不发生相变.试根据熵增加原理证明,此过程所需的最小功为 W=C 72-2T 两物体与致冷机组成绝热系统.由第一定律知,Q=Q+Q2=W,即 致冷机经循环后熵不变,根据熵增加原理, △S=△S1+△S2= dT+ > 由此解得T≥ 72 将上式代入(16),得W≥C|+72-2命题得证
3 均匀杆的初始温度分布为 ( ) 1 2 ( ) l x T xT T x l − + = ． dx 段的定压热容量 d dp p C C x l = ， ( ) 1 2 1 2 2 12 2 21 1 0 2 1 d ln ln ∆ d ln 1 2 T T l p p l x T xT l C T TT T TTT Sx C l T TT + − + + − = =− + − ⌠ ⌡ ∫ ． 1.26 有两个相同的物体，热容量为常量，初始温度同为Ti ．今令一致冷机在此 两物体间工作，使其中一个物体温度降低到T2 为止．假设物体维持在定压 下，并且不发生相变．试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 2 min 2 2 2 i p i T W C TT T = +− ． 解： 两物体与致冷机组成绝热系统．由第一定律知，QQ Q W = 1 2 + = ，即 W CT T CT T = −+ − p ( 1 2 ip i ) ( ) ． (1.6) 致冷机经循环后熵不变，根据熵增加原理， 1 2 1 2 1 2 2 ∆∆ ∆ d d ln 0 i i T T p p p T T i C C T T S S S T TC TT T =+ = + = ≥ ⌠ ⌠ ⌡ ⌡ ． (1.7) 由此解得 2 1 2 Ti T T ≥ ． 将上式代入(1.6)，得 2 2 2 2 i p i T WC T T T ≥ +− ．命题得证．
24求证:(1) 0 解 (1)由dH=7dS+l得dS=dH-d,故 (2)由d=7dS-poV得ds=d+d,故 aS-p>0 27试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在 节流过程中的温度降落 由dC d得 T T av ap丿sC(aT 由dH=CdT-l m)-(聊)(m) T ( =>0,因为平衡稳定性要求C>0.命题得证 28实验发现,一气体的压强p与比体积v(单位质量物质的体积)的乘积及 比内能u(单位质量物质的内能)都只是温度的函数,即p=f(T), l=u(T).试根据热力学理论,讨论该气体物态方程的形式 解 对单位质量气体,dm=7+(92)-pr,故有 P (2.1) 由p=①可得 df 由l=l(T)可得 0 根据以d-=0.解之得f=CT,所以p=Cr
1 2.4 求证：(1) 0 H S p ∂ ∂ ． 解： (1) 由d dd H = + TS Vp 得 1 dd d V SHp T T = − ，故 0 H S V p T ∂ = − ∂ ． 2.7 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在 节流过程中的温度降落． 解： 由dd d p p C V ST p T T ∂ = − ∂ 得 S p p T TV p C T ∂ ∂ = ∂ ∂ ． 由dd d p p V H CT T V p T ∂ =− − ∂ 得 H p p p T TV V p CT C ∂ ∂ = − ∂ ∂ ． 0 S H p T TV p pC ∂ ∂ − = > ∂ ∂ ，因为平衡稳定性要求 0 Cp > ．命题得证． 2.8 实验发现，一气体的压强 p 与比体积v （单位质量物质的体积）的乘积及 比内能 u （单位质量物质的内能）都只是温度的函数，即 pv fT = ( ) ， u uT = ( ) ．试根据热力学理论，讨论该气体物态方程的形式． 解： 对单位质量气体，dd d V v p ucT T p v T ∂ =+ − ∂ ，故有 T v u p T p v T ∂ ∂ = − ∂ ∂ ． (2.1) 由 f ( ) T p v = 可得 1 d v d p f T pT f T vT ∂ −= − ∂ ． (2.2) 由u uT = ( ) 可得 0 T u v ∂ = ∂ ． (2.3) 根据以上三式， d 0 d f T f T − = ．解之得 f = CT ，所以 pv CT = ．
3.5求证 U 由dU=TdS-pd+dn和dS dT dU=T dT+t dv +T udn.(3.1) 由dF=-SdT-pd+dkF3F anaT otar a (3.2) T 根据式(31)与(32)可得 aU 命题得证 37试证明在相变中物质摩尔内能的变化为△Um=41-PdT\,如果一相是气 相,可看作理想气体,另一相是凝聚相,试将公式化简. 解 由两相平衡条件知,两相之间△T=0,p=0,△4=0,因而 L=TASn=△(4+7Sn)=△ 根据克拉珀龙方程,如 dTT△p L dT △ T dp 联立式(33)和(34),即得 P dt t dp 若一相可看作理想气体,则△Vn≈V,pVn=RT,克拉珀龙方程近似 为出=界 代入(3.5)式,得△Um=L-RT.此结论亦可由(33)直接得 到.其物理意义为:一摩尔物质由凝聚相转变至气相时,吸收的相变潜热 部分用于对外做体积膨胀功,功的大小为p△n≈pVn=RT,其余部分 用于增加内能
1 3.5 求证： TV V n , , U T n T µ µ ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ． 解： 由 d dd d U TS pV n = − + µ 和 , ,, dddd V n Tn TV SSS STVn TV n ∂∂∂ =++ ∂∂ ∂ 得 ,, , dd d d V n Tn TV SS S UT T T pV T n TV n µ ∂∂ ∂ = + −+ + ∂∂ ∂ ． (3.1) 由d dd d F =− − + ST pV n µ 及 2 2 F F nT T n ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∂ 得 TV V n , , S n T ∂ ∂µ = − ∂ ∂ ． (3.2) 根据式(3.1)与(3.2)可得 TV V n , , U T n T µ µ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ．命题得证． 3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 m d ∆ 1 d p T U L T p = − ．如果一相是气 相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简． 解： 由两相平衡条件知，两相之间∆T = 0，∆p = 0，∆µ = 0 ，因而 ∆ ∆ m m mm m L = =+ = = + T S TS H U p V ( ) µ ∆∆ ∆ ． (3.3) 根据克拉珀龙方程， m d d ∆ p L T TV = ，即 m d ∆ d L T V T p = ． (3.4) 联立式(3.3)和(3.4)，即得 m d ∆ 1 d p T U L T p = − ． (3.5) 若一相可看作理想气体，则∆V V m m ≈ ， m pV RT = ，克拉珀龙方程近似 为 2 d d p Lp T RT = ．代入(3.5)式，得 ∆U L RT m = − ．此结论亦可由(3.3)直接得 到．其物理意义为：一摩尔物质由凝聚相转变至气相时，吸收的相变潜热 一部分用于对外做体积膨胀功，功的大小为 ∆ m m p V pV RT ≈ = ，其余部分 用于增加内能．
3.13将范氏气体在不同温度下的等温线的极大点N和极小点J联起来,可以得 到一条曲线NCJ,如图所示(ν为气体摩尔体积).试证明这条曲线的方 程为py3=a(v-2b),并说明这条曲线划分出来的三个区域I、Ⅱ和Ⅲ的含 义 P▲ 对单位摩尔范氏气体,物态方程为 P v-b)=RT (36) 等温线上的极值点满足 RT 由(37式得R7=2a( 代入(36)式,即可得到p3=a(v-2b) 区域I和ⅢI中等温线上的状态满足平衡稳定性要求,但自由焓在给定 温度和压强下不是最小,属亚稳态,分别对应过热液体和过饱和蒸气,在 定条件下可观测到区域Ⅱ中等温线上的状态(92)>0,不满足平衡稳 定性要求,实际上不可能出现,必定会发生气液两相分离而平衡共存
2 3.13 将范氏气体在不同温度下的等温线的极大点 N 和极小点 J 联起来，可以得 到一条曲线 NCJ，如图所示（v为气体摩尔体积）．试证明这条曲线的方 程为 3 pv av b = − ( 2)，并说明这条曲线划分出来的三个区域 I、II 和 III 的含 义． 解： 对单位摩尔范氏气体，物态方程为 ( ) 2 a p v b RT v + −= ． (3.6) 等温线上的极值点满足 ( )2 3 2 0 T p RT a v v v b ∂ = − += ∂ − ， (3.7) 由(3.7)式得 ( )2 3 2av b RT v − = ．代入(3.6)式，即可得到 3 pv av b = − ( 2)． 区域 I 和 III 中等温线上的状态满足平衡稳定性要求，但自由焓在给定 温度和压强下不是最小，属亚稳态，分别对应过热液体和过饱和蒸气，在 一定条件下可观测到．区域 II 中等温线上的状态 0 T p v ∂ > ∂ ，不满足平衡稳 定性要求，实际上不可能出现，必定会发生气液两相分离而平衡共存． p v I II III J N C
63试证明,对于二维自由粒子,在面积L2内,在E到E+dE的能量范围内, 量子态数为D(E)dE=2(2m)d 二维动量空间内,一个量子态占据的面积为 因而在圆环形区域 L 2xpdp内的量子态数为 D(P)dp (6.1) 由。立得P=√2mE,4=1md,代入(61,得到 D(Ede IL_(2m)de (6.2) 64在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为ε=φ.试求在体积V内, 在ε到E+dε的能量范围内三维粒子的量子态数. 解: 三维动量空间内,一个量子态占据的体积为2|,因而在球壳形区域 4xp2dp内的量子态数为 4π D(P)d=-}p24 (6.3) 由 得 d=dE,代入(6.3),得到 D(=)d=4x (64) h'c
6.3 试证明，对于二维自由粒子，在面积 2 L 内，在ε 到ε + dε 的能量范围内， 量子态数为 ( ) ( ) 2 2 π d 2 L D m h ε ε ε = d ． 解： 二维动量空间内，一个量子态占据的面积为 2 h L ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，因而在圆环形区域 2πpdp内的量子态数为 ( ) 2 2 2π d d L D p p p p h = ． (6.1) 由 2 2 p m ε = 得 p = 2mε ，d 2 m p dε ε = ，代入(6.1)，得到 ( ) ( ) 2 2 π d 2 L D m h ε ε ε = d ． (6.2) 6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε = cp ．试求在体积V 内， 在ε 到ε + dε 的能量范围内三维粒子的量子态数． 解： 三维动量空间内，一个量子态占据的体积为 3 h L ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，因而在球壳形区域 2 4πp dp 内的量子态数为 ( ) 2 3 4π d d V D p p p p h = ． (6.3) 由ε = cp 得 p c ε = ， 1 dp d c = ε ，代入(6.3)，得到 ( ) 2 3 3 4π d d V D h c ε ε = ε ε ． (6.4)
71对于非相对论粒子,=P2=b2(m2+n2+n2),n,n,n=01±2,… 2m 2mL2 试根据公式P2a ∑a证明p= 20 28 由L=a312m(++n)=2,将以上关系代入压 强公式,则有p=∑a 3243 76晶体含有N个原子.原子在晶体中的位置如ooO 图中○所示,当原子离开正常位置而占据图 中x位置时,晶体中就出现缺位和填隙原子 +o+ 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷. (1)假设正常位置和填隙位置数都是N,试 证明由于在晶体中形成n个缺位和填隙 原子而具有的熵为S=2kh-N1 ) n!(N-n (2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u.试由自由能F=m-TS为 极小证明,温度为T时,缺位和填隙原子数为n≈Ne2k(设n<N) 解 (1)n个原子占据填隙位置而其余占据正常位置这一分布对应的微观状态 数即从N个填隙位置中选取n个容纳填隙原子,且从N个正常位置中 选取N-n个容纳其余原子的方式数,故=CCN N n!(N-n S=kIns=2kIn- N! (2)F=nu-2kT In n!(N-I +2kT[nInn+(N-n)In(N-n)NInN] 由=+2kTh”=0得n=(N-n2Ne5(n<N) 710表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动,可以看作二维理想气体 试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布,并求平均速率ν、最 概然速率vm和方均根速率v
7.1 对于非相对论粒子， ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z p h n n n m mL ε = = + + ， ． 试根据公式 , , 0, 1, 2, x y z n n n = ± ± … l l l p a V ∂ε = − ∂ ∑ 证明 2 3 U p V = ． 解： 由 1 3 L V= 可得 ( ) 2 2 2 2 5 3 2 2 3 2 3 x y z h nnn V mV V ∂ε ⎡ ⎤ ε = − + + = − ⎢ ∂ ⎣ ⎦⎥ ．将以上关系代入压 强公式，则有 2 2 3 3 l l l l l l U p a a V V V ε ε ∂ = − = = ∂ ∑ ∑ ． 7.6 晶体含有 个原子．原子在晶体中的位置如 图中 所示．当原子离开正常位置而占据图 中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子． 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷． N ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × (1) 假设正常位置和填隙位置数都是 ，试 证明由于在晶体中形成 个缺位和填隙 原子而具有的熵为 N n ( ) ! 2 ln ! ! N S k n N n = − ． (2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u ．试由自由能 为 极小证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为 F n = − u TS 2 e u kT n N （设 ）． − ≈ n N 解： (1) 个原子占据填隙位置而其余占据正常位置这一分布对应的微观状态 数即从 个填隙位置中选取 个容纳填隙原子，且从 个正常位置中 选取 n N n N N − n 个容纳其余原子的方式数，故 ( ) 2 ! C C ! ! n N n N N N n N n Ω − ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ， ( ) ! ln 2 ln ! ! N S k k n N n = = Ω − ． (2) ( ) ( ) ( ) ! 2 ln 2 ln ln ln ! ! N F nu kT nu kT n n N n N n N N n N n = − ≈ + ⎡ + − − − ⎤ ⎣ ⎦ − ． 由 d 2 ln 0 d F n u kT n N = + = − n 得 ( ) 2 2 e e u u kT kT n N n N （n ）． − − = − ≈ N 7.10 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体． 试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率v 、最 概然速率vm 和方均根速率vs ． 1
由麦克斯韦分布对分子坐标积分后,得到动量在p附近范围内的分子数 + N一N(2mk7)5=业邮,因此,速度在p附近山范围 e 2mk dp dp 内的分子数为N dy dy 2πkT 利用速度空间的极坐标,以上速度分布可表示为N2n67 I'dvde.对 速度方向e积分,得到速率分布2mN 2kTrdv 2kT 平均速率为v=v2x v dv (计算过程参见教材附录 2πT 2m 最概然速率满足条件 2ky=0,所以 由于 ckt n/t=27 2πkT vs 7.17气柱高度为H,截面为S,处在重力场中.试证明此气柱的内能和热容量 为U=U+NkT 和C1=Cn+MM(mgH)em ,其中U和C0 kT 分别为无外场情形的内能和热容量 解: 叫(++ 配分函数Z dp, dp, dp. drdy Z0,这 Bmg 里乙=51(20m为无外场时的配分函数 1(B 内能U=-N aInZ akiaki 1/U+M7、NngH
解： 由麦克斯韦分布对分子坐标积分后，得到动量在 p 附近dp 范围内的分子数 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e d d 1 e d d 2π e d d x y x y x y p p mkT p p x y mkT x y p p mkT x y p p N N mkT p p + − + − + − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⌠⌠⎮⎮⌡⌡ p p ．因此，速度在v 附近 范围 内的分子数为 dv ( ) 2 2 2 e d 2π m vx y v kT x y m N v kT + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dv ． 利用速度空间的极坐标，以上速度分布可表示为 2 2 e d d 2π mv N v m kT kT v θ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ．对 速度方向θ 积分，得到速率分布 2 2 2π e d 2π mv N v m kT kT − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ v ． 平均速率为 2 2 π 2π e d 2π 2 mv m k kT v v v v kT m +∞ − −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⌠ ⎮⎮ ⌡ T = （计算过程参见教材附录 C）．最概然速率满足条件 2 2 d 2π e 0 d 2π mv m kT v v kT ⎡ ⎤ − ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ，所以 m kT v m = ．由于 2 2 2 2 2 2π e d 2π mv m k kT T v v v v kT m +∞ − −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⌠ ⎮⎮ ⌡ ， s 2kT v m = ． 7.17 气柱高度为 H ，截面为 ，处在重力场中．试证明此气柱的内能和热容量 为 S 0 e 1 mgH kT NmgH U U= + NkT − − 和 ( )2 0 2 2 e e 1 mgH kT V V mgH kT N mgH C C Nk kT = + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ，其中 和 分别为无外场情形的内能和热容量． U0 CV 0 解： 配分函数 ( ) 222 2 3 0 0 0 1 1 e d d d d d e d x y z p p p mgH H m mgz x y z e Z p p p x y z Z h m β β β β + + − − − − = = ⌠⌠⌠ ⎮⎮⎮ ⌡⌡⌡ ∫∫ ∫ gH ，这 里 3 2 0 3 0 SH 2πm Z h β ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠⎟ 为无外场时的配分函数． 内能 0 0 ln 1 e 1 e 1 mgH mgH kT Z mgH NmgH U N U N U NkT β β β ∂ ⎛ ⎞ = − = + ⎜ ⎟ − = + − ∂ − ⎝ ⎠ − ． 2
热容量C=CC N(mgh)e 0 7.18试求双原子分子理想气体的振动熵 解 振动配分函数为Z 全同粒子不可分辨性只影响 n=0 平动嫡,所以S,=Nk|hnz,-B 0)2(--)小明 入振动特征温度=ho,振动熵可表为S=M/T-h(-e“/) k 且满足广延量要求 7.19对于双原子分子,常温下kT远大于转动的能级间距.试求双原子分子理想 气体的转动熵 解: 由题设,常温下转动能级准连续,所以对能级的求和可以用积分代替.转 1+1)Bh2 动配分函数为Z=∑(21+)ex(21+)e 转动熵 S,=Nk)Inz-BOInZ,=Nk1+n(n2 2IkT aB 引入转动特征温度.=2 则有S=Mk1+n,且为广延量 722以n表晶体中磁性原子的密度.设原子的总角动量量子数为1.在外磁场 下,原子磁矩可以有三个不同的取向,即平行、垂直和反平行于外磁场. 假设磁矩之间的相互作用可以忽略.试求在温度为T时晶体的磁化强度 及其在弱磁场髙温极限和强场低温极限下的近似值 设原子磁矩在磁场方向的分量为-mμ,其中m=-1,0,1分别表示与外磁场 平行、垂直、反平行三种状态,相应的磁矩取向能级为m分 对此定域子系统利用玻耳兹曼分布,得到各状态上的原子数
热容量 ( )2 0 2 2 e e 1 mgH kT V V mgH kT U N mgH C C Nk T kT ∂ = = + − ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ． 7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵． 解： 振动配分函数为 1 2 2 v 0 e e 1 e n n Z β ω β ω β ω ∞ ⎛ ⎞ − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = = = − ∑ = = = ．全同粒子不可分辨性只影响 平动熵，所以 ( ) v v v ln ln ln 1 e e 1 kT kT Z kT S Nk Z Nk ω ω ω β β − ⎛ ⎞ ∂ ⎡ ⎤ = − ⎜ ⎟ = − − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ∂ − ⎣ ⎦ = = = ．引 入振动特征温度 v k ω θ = = ，振动熵可表为 ( ) v v v v ln 1 e e 1 T T T S Nk θ θ ⎡ θ − ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ − ⎦ ， 且满足广延量要求． 7.19 对于双原子分子，常温下 远大于转动的能级间距．试求双原子分子理想 气体的转动熵． kT 解： 由题设，常温下转动能级准连续，所以对能级的求和可以用积分代替．转 动配分函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 r 2 0 0 2 2 1 e 2 1 e d l l l l I I l I Z l l l β β β ∞ + + ∞ − − = = + ≈ + = ⌠⎮ ∑ ⌡ = = = ．转动熵 r r r 2 ln 2 ln 1 ln Z IkT S Nk Z β Nk β ⎛ ⎞ ∂ ⎡ ⎛ ⎞⎤ = − ⎜ ⎟ = ⎢ + ⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ∂ ⎣ ⎝ ⎠ = ⎦ ．引入转动特征温度 2 r 2Ik θ = = ， 则有 r r 1 ln T S Nk θ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，且为广延量． 7.22 以 表晶体中磁性原子的密度．设原子的总角动量量子数为1．在外磁场 下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直和反平行于外磁场． 假设磁矩之间的相互作用可以忽略．试求在温度为T 时晶体的磁化强度 及其在弱磁场高温极限和强场低温极限下的近似值． n B M 解： 设原子磁矩在磁场方向的分量为 −mµ ，其中 m = −1, 0,1分别表示与外磁场 平行、垂直、反平行三种状态，相应的磁矩取向能级为mµB ． 对此定域子系统利用玻耳兹曼分布，得到各状态上的原子数 3
