第三章一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和 方程:一维,不显含时间的位势。如 v(r)=V(x)+Ⅴ(y)+Ⅴ(z V(r)=Ⅴ(r) 则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础
第三章 一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和 方程：一维，不显含时间的位势。 如 则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础。 V(r) = V(x) V(y) V(z) + + V(r) = V(r )
§3.1一般性质 设粒子具有质量m,沿ⅹ轴运动,位势为 V(x),于是有 h2 +V(xu(x)=Eu(x) 2m dx2 (1)定理1:一维运动的分立能级(束缚态), 一般是不简并的
§3.1一般性质 设粒子具有质量 m ，沿 x 轴运动，位势为 ，于是有 （1）定理 1：一维运动的分立能级(束缚态)， 一般是不简并的。 V(x) 2 2 2 d ( V(x))u(x) Eu(x) 2m dx −+ = h
简并度( degeneracy):一个力学量的某个 测量值,可在n个独立的(线性无关的)波 函数中测得,则称这一测量值是具有n重简 并度 如某能量本征值有n个独立的定态相对应, 则称这能量本征值是n重简并的 证:假设u1,u2是具有同样能量的波函数 2 +V(x)u1(x)=Eu1(x)(1) 2m dx
简并度（degeneracy）：一个力学量的某个 测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波 函数中测得，则称这一 测量值是具有 n 重简 并度。 如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应， 则称这能量本征值是 n 重简并的。 证：假设 , 是具有同样能量的波函数 (1) u1 u2 2 2 1 1 2 d ( V(x))u (x) Eu (x) 2m dx −+ = h
2 +V(x)u2(x)=Eu2(x)(2) 2m dx u×(2)一u2×(1) 从而得 2 u 2(x)=0 dx dx 于是 u2u1(x)-u1u2(x)=c(c是与x无关的常数)
(2) 从而得 于是 (c是与 x 无关的常数) 2 2 21 12 2 2 d d u u (x) u u (x) 0 dx dx − = u u (x) u u (x) c 21 12 ′ ′ − = u (2) u (1) 1 × − 2 × 2 2 2 2 2 d ( V(x))u (x) Eu (x) 2m dx −+ = h
对于束缚态x→±∞,u;>0(或在有限区域有 某值使u2u(x)-u1u2(x)=0),所以 c=0 u2u1(x)-u1u2(x)=0 若u2(x)u1(x)不是处处为零,则有 (nu2)=(nu1) u1(x)=Au2(x)
对于束缚态 （或在有限区域有 某值使 ），所以 c＝0 若 不是处处为零，则有 21 12 u u (x) u u (x) 0 ′ − ′ = 2 1 u (x)u (x) (ln u ) (ln u ) u u u u 2 1 1 1 2 2 ⇒ ′ = ′ ′ = ′ 1 2 u (x) Au (x) = i x ,u 0 → ±∞ → 21 12 u u (x) u u (x) 0 ′ − ′ =
应当注意: 分立能级是不简并的,而对于连续谱 时,若一端u→>0,那也不简并。但如两端 都不趋于0(如自由粒子),则有简并 ⅱ.当变量在允许值范围内(包括端点), 波函数无零点,就可能有简并存在。(因常数 C≠0)。 i.当∨(x)有奇异点,简并可能存在。因 这时可能导致u2(x)u1(x)处处为零
应当注意: ⅰ. 分立能级是不简并的，而对于连续谱 时，若一端 ，那也不简并。但如两端 都不趋于0（如自由粒子），则有简并。 ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。(因常数 c≠0)。 ⅲ．当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因 这时可能导致 处处为零。 u → 0 2 1 u (x)u (x)
推论:一维束缚态的波函数必为实函数(当然 可保留一相位因子)。 证2d2 2m dr 2+v(x)un(x)=Enn(x) 令un(x)=Rn(x)+iln(x)(Rn1(x),L1(x)都是实函数) h- d +V(OR(X=EnR(X) 2m dx
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然 可保留一相位因子）。 证 令 （ 都是实函数） 则 2 2 2 n nn d ( V(x))u (x) E u (x) 2m dx −+ = h n R (x) iI n n u (x ) = + (x) R ( x), I ( x ) n n 2 2 2 n nn d ( V(x))R (x) E R (x) 2m dx −+ = h
h2 d2 C 2mdr2+v(x))In(x)=Enn(x) 但对束缚态,没有简并,所以只有一个解 因而Rn和Ln应是线性相关的,所以 I = aR 因此, un(x)=(1+iaR(x) Ae PRn(x)
但对束缚态，没有简并，所以只有一个解， 因而 和 应是线性相关的，所以 因此， u (x) (1 i )R (x) n = + α n i Ae R (x) n β = n Rn I = α 2 2 2 n nn d ( V(x))I (x) E I (x) 2m dx −+ = h Rn nI
(2)不同的分立能级的波函数是正交的 h- d 2md2+V(x)1(x)=E1u1(x)(1) 2 h d 6功>+V(x)2(x)=E2u2(x) (2) 2m 2×(1)-u1×(2) 2 (u2(x)u1(x)-u1(x)u2(x)=(E1-E2)u2(x)u1(x)
（2）不同的分立能级的波函数是正交的 （1） （2） 2 * ** 2 1 1 2 1 22 1 (u (x)u (x) u (x)u (x)) (E E )u (x)u (x) 2m − − =− ′′ ′′ h * 1 * 2 u × (1) − u × (2) 2 2 1 11 2 d ( V(x))u (x) E u (x) 2m dx −+ = h 2 2 2 22 2 d ( V(x))u (x) E u (x) 2m dx −+ = h
(E1-E2)u2 2m]dx u, u ,") )d 2 oo U2XU1X-u(XU,(X )=0 2m 从而证得 Uou,dx=0 (3)振荡定理:当分立能级按大小顺序排列, 般而言,第n+1条能级的波函数,在其取值
从而证得 （3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列， 一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值 * 2 1 u u dx 0 = ∫ 2 * * 2 2 1 1 2 * 1 21 d (E E ) u u dx (u u u u )dx 2m dx − =− −′ ′ ∫ ∫ h 2 * * 21 12 (u (x)u (x) u (x)u (x)) 2m 0 ∞−∞ =− − = ′ ′ h