量子力学期末试题B 姓名 学号 题号1 ⅣV 习题总分 成绩 I.(35分)回答下列问题: A.写出电子在外电磁场(q,A)中的哈密顿量 B.反常塞曼效应的特点,引起的原因 C.分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式 D若=0x±iy,求全 E.体系处于v(x,t)态, a.几率密度p(x,t)=? b.几率流密度jx,t)=?; 证明:a F.处于位势m02x2中的两个无相互作用的粒子,试分别给出 它们的基态、第一激发态和第二激发态的能量和简并度, a)非全同粒子; b)自旋为的全同粒子; c)自旋为0的全同粒子。 Ⅱ.(14分)用试探波函数 Y(x)
量子力学期末试题 B 姓名 学号 题 号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 习 题 总 分 成 绩 Ⅰ.（35 分）回答下列问题： A. 写出电子在外电磁场 (ϕ，A) 中的哈密顿量； B. 反常塞曼效应的特点，引起的原因； C. 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式； D. 若 x y σ± = σ ± iσ ，求 2 σ± ； E. 体系处于ψ(x,t)态， a. 几率密度 ? ρ(x,t) = ； b. 几率流密度 ? j(x,t) = ； c. 证明： x j t ∂ ∂ = − ∂ ∂ρ 。 F. 处于位势 2 2 m x 2 1 ω 中的两个无相互作用的粒子，试分别给出 它们的基态、第一激发态和第二激发态的能量和简并度， a) 非全同粒子； b) 自旋为 2 1 的全同粒子； c) 自旋为0的全同粒子 。 Ⅱ. (14 分）用试探波函数 x / a (x) e − ψ =
估计一维谐振子基态能量和波函数 Ⅲ.(16分)设粒子在一维空间中运动,其哈密顿量为H,它在Ho表 象中的表示为 △E A.求且的本征值和本征态; B.若t=0时,粒子处于ψ,它在表象中的表示为。试求出 t>0时的粒子波函数 C.绘出粒子在中态的几率随t的变化(以n/△E为单位) Ⅳ.(15分)t=0时,氢原子处于基态平00=R10(r)/√4π,后置于 电场E=(E0et/,00)中。求t→∞时,发现氢原子处于 激发态211=R21(r)Y1(9,q)的跃迁几率(一级近似下)(径 向矩阵元不必具体计算出来;不计及电子的自旋) (提示:r2兀 2 (Y1-1-Y1),i{2(X-1+1) Y10)) V.(10分)两个电子处于自旋单态,σ1和2分别表示两个电子的 Pauli算符。设a和b为空间任意给定的两个方向的单位矢量, 求关联系数Cab),即(a·1)(b:σ2)的平均值
估计一维谐振子基态能量和波函数。 Ⅲ.（16 分）设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为H∃，它在H∃ 0表 象中的表示为 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ = 0 0 E E E E H ˆ ， A. 求H∃的本征值和本征态； B. 若t=0时，粒子处于φ1，它在H0 ˆ 表象中的表示为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 。试求出 t > 0 时的粒子波函数； C. 绘出粒子在φ1态的几率随 t 的变化（以η/ EΔ 为单位）。 Ⅳ.（15 分）t = 0时，氢原子处于基态Ψ100 = R10(r)/ 4π ，后置于 电 场E (E e ,0,0) t / 0 − τ = 中。求t → ∞时，发现氢原子处于 激发态 R (r)Y ( , ) Ψ211 = 21 11 θ ϕ 的跃迁几率（一级近似下）（径 向矩阵元不必具体计算出来；不计及电子的自旋）。 ( 提示： (Y Y ) 3 2 r (r = 1−1 − 11 π ， ( ) 3 2 Y1 1 Y11 ir + π − ， ) 3 4 Y10 r π ) Ⅴ. （10 分）两个电子处于自旋单态，σ1 和σ2 分别表示两个电子的 Pauli 算符。设a和b为空间任意给定的两个方向的单位矢量， 求关联系数C(a,b) ，即(a )(b ) σ1 σ2 ⋅ ⋅ 的平均值
量子力学期末试题B答案和评分 I.(35分) A. H (p+eA)+-S·B-eq (4分) 2m B.碱金属原子能级偶数分裂 (1分) 光谱线偶数条 (1分) 分裂能级间距与能级有关 (1分) 由于电子具有自旋 (1分) C H=Ho+H (2分) 2 sn甲k k=(r H1 K, Ek 2分) ek DG=(+i)a+i、)=2-o+iσ+o)=0(2分) σ2=(k-iy)x-iy)=Q3-o2-i+、o3)=0(2分 X, t)=p(x (2分) d j(x2m|9(x,t)q(x,1)-(x,t)9(x,t) (2分) do(x, t) a at Vop p m q,φ-φφ)因Ⅴ=Ⅴ m aj(x, t) (2分) F.a)基态n1=n2=00非简并 (1分) 第一 n1=0,n2=1 200二重 (1分) n2 0,n2=2 第二{n1=2,n1=03o三重 (2分) 1 b)基态n1=n2=0x00(总周旋为0)m非简并(1分) 第一Jn1=0,n2=1x0(C二态相加y2分 0xm(二态相减)
量子力学期末试题 B 答案和评分 Ⅰ. (35 分) A. = + + S ˆ ⋅B − eϕ m e A) ˆ (pˆ e 2m 1 Hˆ （4 分） B. 碱金属原子能级偶数分裂 （1 分） 光谱线偶数条 （1 分） 分裂能级间距与能级有关 （1 分） 由于电子具有自旋 （1 分） C. 0 H1 Hˆ = Hˆ + ˆ , k 0 H0 k Ek ˆ ϕ = ϕ (2 分) k 1 k (1) Ek = ϕ Hˆ ϕ ， ∑ ≠ − ϕ ϕ = s k 0 s 0 k 2 (2) s 1 k k E E Hˆ E （2 分） D. 0 2 2 2 σ+ = (σx + iσy )(σx + iσy ) = σx − σy + i(σxσy + σyσx ) = （2 分） 0 2 2 2 σ− = (σx − iσy )(σx − iσy ) = σx − σy − i(σxσy + σyσx ) = （2 分） E. 2 ρ(x,t) = ϕ(x,t) （2 分） (x,t) dx d (x,t) (x,t) dx d [ (x,t) m i j(x,t) * * ϕ ϕ − ϕ ϕ − = 2 η （2 分） ϕ ∂ ∂ϕ + ∂ ∂ϕ = ρ ρ t t (x,t) (x,t) dt d * * V V) m p ( i V ) m p ( i * x * x * * * = ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ 2 1 2 1 2 2 η η ) dx x d ( 2m x i * * ϕ ∂ ∂ ϕ ϕ − ϕ ∂ ∂ = η 因 * V = V x j(x,t) ∂ ∂ = − （2 分） F. a） 基态 n1 = n2 = 0 ηω 非简并 （1 分） 第一 ⎩ ⎨ ⎧ = = n 1, n 0, 1 1 n 0 n 1 2 2 = = 2ηω 二重 （1 分） 第二 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = n 1, n 2, n 0, 1 1 1 n 1 n 0 n 2 2 1 2 = = = 3ηω 三重 （2 分） b） 基态 n1 = n2 = 0 χ00（总周旋为0） ηω 非简并 （1 分） 第一 ⎩ ⎨ ⎧ = = n , n , 1 0 1 1 0 1 2 2 = = n n 1m 00 χ χ ( ) ( ) 二态相减 二态相加 2ηω 四重 （2 分）
n1=0,n2=2x00(相加) 第二{叫1=2,n1=0xm(相减)3m0五重(2分) c.基态n1=n2=0 n非简并(1分) 第 (二态相加)非简并(1分) n1=1,n2=0 0,n2=2 第二{吗n=2,m1=0(二态相加二态简并(2分) Ⅱ.(14分) 归一化A2(1ax+e)=A2a=1,A=1 (2分) (a) 2am-oo n )∫ea(28xe e a dx +-mo--a 2 am a 2a2(2-·a)+mo2,a T-mo (6分)(动能计算错扣3分) 2am 另一种求法E(a)= fe a pfe a dx+moa e a )dx+ma 2am-oo 4 e a dx+-mo a 十-moa a) +-ma2a=0 (3分) nm a ll +-mo (3分) 2
第二 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = n , n , n , 1 2 0 1 1 1 1 0 2 2 1 2 = = = n n n 00 1 00 χ χ χ m ( ) ( ) 相减 相加 3ηω 五重 （2 分） c. 基态 n n 0 1 = 2 = ηω 非简并 （1 分） 第一 ⎩ ⎨ ⎧ = = n , n , 1 0 1 1 0 1 2 2 = = n n (二态相加) 非简并 （1 分） 第二 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = n , n , n , 1 2 0 1 1 1 1 0 2 2 1 2 = = = n n n (二态相加) 二态简并 （2 分） Ⅱ. （14 分） 归一化 ∫ ∫ ∞ − −∞ + = = 0 2 2 0 2 2 A ( e dx e dx) A a 1 x a x a ， a A 1 = （2 分） ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ − −∞ − − − + ω − = e ]dx m x e dx x x ) a [( dx d e am E a x a x a x (a) 2 2 2 2 2 1 1 2 η 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 e )dx m a a ) e ( e a ( am a x a x (x) a x − δ − + ω − = ∫ ∞ −∞ η − − − 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 a) m a a ( a m = − ⋅ + ω η 2 2 2 2 4 1 2 m a a m = + ω η （6 分）（动能计算错扣 3 分） 另一种求法 2 2 2 4 1 2 1 e pˆ e dx m a am E a x x a x (a) = + ω ∞ − −∞ − ∫ 2 2 2 4 1 1 1 2 1 e )dx m a x x a e ) ( i x x a ( i am a x a * x + ω − − − = − ∞ − −∞ ∫ η η 2 2 2 3 2 4 1 2 e dx m a a m a x = ∫ + ω ∞ −∞ η − 2 2 2 2 4 1 2 m a a m = + ω η 0 2 1 2 3 2 + ω = − = m a a m E' (a) η , 2 2 2 4 2 ω = m a η （3 分） = ω ω + ω ω = η η η η 2 2 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m m m m Emin （3 分）
n (结果错扣3分) Ⅲ(16分) Eo△E 0 △E E土=E0±△E E+=Eo+AE, u+= (2分) E_=E0-△E (2分) (0) +a u (4分) i(E0+△E)t/n v =e- iEot/ cos△tn (4分) isin△Et/n C.几率 2△E 2△E Po, =cos'-t=-(+cos--t (2分) (2分) 3π/2 ⅣV.(15分) P100-211 Y21(exege drle (6分) R 21 e (6分
a x e a − ψ = 1 , ω = m a η 2 2 （结果错扣 3 分） Ⅲ. （16 分） A. 0 0 0 = Δ − Δ E E E E E , ∴ E± = E0 ± ΔE E+ = E0 + ΔE ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 1 2 1 u （2 分） E− = E0 − ΔE , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 1 2 1 u （2 分） B. ⎟ = + + + − − = + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ψ( ) = a u a u u u 2 1 2 1 0 1 0 （4 分） i(E E)t η i(E E)t η (t) e e − +Δ − +Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ψ = 0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Δ Δ = − η η η isin Et cos Et e iE t 0 （4 分） C. 几率 t) E t ( cos E p cos η η Δ = + Δ ϕ = 2 1 2 2 1 1 （2 分） （2 分） Ⅳ.（15 分） 2 0 100 211 211 0 100 21 1 ∫ ∫ ∞ − τ −ω p − = [ ψ (exE e )ψ dr]e dt * t t η （6 分） 2 11 1 1 11 2 0 8 1 3 2 21 10 2 2 0 2 4 1 3 2 0 2 ∫ ∫ Ω π − π = ⋅ − ∞ ′ − τ − R r R e dt Y (Y Y ) d e E * ) a e t( i η η （6 分）
Rarr (结果正确3分) V.(10分 第一种做法:取a为Z轴,b在(X,Z)平面与盘夹角为6 (a·g1)(b·g2)=σlz(sin62x+cos62z (3分) 由于2x=(10 在σ2表象) 在σ2表象) (2分) 0 则 (2分) 0 0 σ122x=0,而 (2分) (.-2)=-cos6 (1分) 第二种做法:直接求 (a g1)(b g2)=(aIx+ayOly +a1z01z)(box+byO2y+ b2202z =a,bx+o1xo2x+a,b,o1o2v+a,b,oo2 bσ1、σ2x+a、bσ1σ2y+a、b +azb,o1zo2x +azbyo1z02y +azb201z02z) by -azb2 b=-cos e 第三种做法:(q1·a)(2·b)=(s1·a)|(σ1+g2-g1)·b (c1·a)(b·qn)+(c1·a)(∝·b) d=1+g 而=0,∴(c1·a)(2·b)=-(1·a)(1b) =-a·b+id1·(a×b) 但a1=0,∴(1·a)(g2b)=-a·b
2 2 0 4 2 64 1 9 2 21 10 2 2 0 2 1 6 η η a e ( ) R r R e E + τ = ⋅ （结果正确 3 分） Ⅴ. （10 分） 第一种做法：取a为z轴，b 在(x, z)平面与a夹角为θ (a )(b ) (sin cos ) 1 σ2 = σ1z θσ2x + θσ2z ⋅ σ ⋅ （3 分） 由于 2x （在 2z表象） 1 0 0 1 σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ = 1z （在 2z表象） 0 1 1 0 σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − σ = （2 分） 则 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 1 0 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ x x （2 分） σ1zσ2x = 0, 而 σ1zσ2z = −1 （2 分） ∴ (a ⋅ σ1)(b ⋅ σ2 ) = − cos θ = −a ⋅ b ρ ρ ρ ρ （1 分） 第二种做法：直接求 (a )(b ) (a a a )(b b b ) 1 σ2 = xσ1x + yσ1y + 1zσ1z xσ2x + yσ2y + 2zσ2z ⋅ σ ⋅ a b a b a b ) = x x + σ1xσ2x + x yσ1xσ2y + x zσ1xσ2z a b a b a b ) + y xσ1yσ2x + y yσ1yσ2y + y zσ1yσ2z a b a b a b ) + z xσ1zσ2x + z yσ1zσ2y + z zσ1zσ2z = −axbx − ayby − azbz = −a ⋅ b = − cos θ 第三种做法： (σ1 ⋅ a)(σ2 ⋅b) = (σ1 ⋅ a)[(σ1 + σ2 − σ1)⋅b = −(σ ⋅ a)(b ⋅ σ ) + (σ ⋅ a)(σ ⋅ b) 1 1 1 σ = σ1 + σ2 而 σ = 0， ∴ (σ ⋅ a)(σ ⋅ b) = −(σ ⋅ a)(σ ⋅ b) 1 2 1 1 = −[a ⋅ b + iσ ⋅(a × b)] 1 但 0 1 σ = ，∴ (σ1 ⋅ a)(σ2 ⋅ b) = −a ⋅ b
