热力学·统计物理期中测验 2004.4.14 1.理想气体的物态方程为pV=vRT,这里v是摩尔数 (1)证明其内能仅是温度T的函数 (2)一热机工作于物质量相同、温度分别为T和T的两个理想气体系统之间, 使两系统在恒定外压强下达到共同末温T.设理想气体系统定容热容量 C为常数,求T的范围和热机输出的最大功 2.右图给出1摩尔物质的等温线,水平段 上凝聚相与气相共存. (1)忽略相变潜热L随温度的变化,并将 气相看作理想气体,其体积远大于凝 聚相,试由克拉珀龙方程=L dTT△ P 证明两相平衡曲线方程近似为 T-dT 这里L是相变潜热, Δ是相变后摩尔体积的增量,A为 常数. (2)某物质在三相点附近的汽化曲线和升华曲线方程分别为lnp=A1-和 lnp=A1-B,其中A、B、A和B为实验测定的已知参数,求三相点 的温度和压强及汽化热、升华热和熔解热. (3)如图所示,以温度分别为T、T-dT的两近邻等温线AB、CD与两无限 小绝热线元BC、DA组成一微卡诺循环ABCD.确定该循环的效率n, 并由此导出克拉珀龙方程
热力学·统计物理期中测验 2004．4．14 1．理想气体的物态方程为 pV R =ν T ，这里ν 是摩尔数． (1) 证明其内能仅是温度T 的函数． (2) 一热机工作于物质量相同、温度分别为T 和T 的两个理想气体系统之间， 使两系统在恒定外压强下达到共同末温T ．设理想气体系统定容热容量 为常数，求T 的范围和热机输出的最大功． 1 2 CV 2．右图给出 1 摩尔物质的等温线，水平段 上凝聚相与气相共存． (1) 忽略相变潜热 L 随温度的变化，并将 气相看作理想气体，其体积远大于凝 聚相，试由克拉珀龙方程 ∆ m d d p L T T V = 证明两相平衡曲线方程近似为 ln L p A RT = − ，这里 L 是相变潜热， ∆Vm 是相变后摩尔体积的增量，A 为 常数． A B D C p V T T T − d p p − dp (2) 某物质在三相点附近的汽化曲线和升华曲线方程分别为 1 1 ln B p A T = − 和 2 2 ln B p A T = − ，其中 A1、 B1、 A2 和 B2 为实验测定的已知参数．求三相点 的温度和压强及汽化热、升华热和熔解热． (3) 如图所示，以温度分别为T 、T − dT 的两近邻等温线 AB、CD 与两无限 小绝热线元 BC、DA 组成一微卡诺循环 ABCD．确定该循环的效率η ， 并由此导出克拉珀龙方程．
热力学·统计物理期中测验答案与评分标准 (共50分) (1)选T和V作为状态参量,态函数U=U(T,T), (0 从物态方程可得 P (5分) T 将(2)式代入(1)式,得 aU 0,(5分) 即内能与体积无关,仅是温度的函数. (2)由C为常数知C=C+vR亦为常数.等压过程Q=C△T.热机对外输 出正功,由第一定律得 W=Cn(7-7)+C2(T2-7)≥0.(10分) 由第二定律(或熵增加原理)得 rC,dt [ c,dT △S= C.ln一≥0.(10分) 根据式(4)和(5)知 TT≤T (5分) 代入(4)式,得到 Wms=Cn(T+2-2√7T2).(5分) 2.(共50分 (1)由题设知L为常数,△≈1RT,代入克拉珀龙方程,得到 dp ldt R72·(10分) 对(8)式积分,有
热力学·统计物理期中测验答案与评分标准 1. （共 50 分） (1) 选T 和V 作为状态参量，态函数U U= (T,V ) ， d dV V p U C T T p V T d ⎡ ⎛ ⎞ ∂ ⎤ = + ⎜ ⎟ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ∂ ⎦ ．（10 分） (1) 从物态方程可得 V p R T V ⎛ ⎞ ∂ ν p T ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ ∂ ．（5 分） (2) 将(2)式代入(1)式，得 0 T V U p T p V T ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ ∂ ∂⎝ ⎠ ，（5 分） (3) 即内能与体积无关，仅是温度的函数． (2) 由CV 为常数知C C p V = +ν R亦为常数．等压过程Q C= p ∆T ．热机对外输 出正功，由第一定律得 ( ) 1 ( 2 ) 0 W C= − p p T T +C T −T ≥ ．（10 分） (4) 由第二定律（或熵增加原理）得 1 2 2 1 2 d d ∆ ln 0 T T p p p T T C T C T T S C T T T T = + = ⌠ ⌠ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡ ≥ ．（10 分） (5) 根据式(4)和(5)知 1 2 1 2 2 T T T T T + ≤ ≤ ．（5 分） (6) 代入(4)式，得到 W C max = + p (T1 T2 − 2 T1 T2 ) ．（5 分） (7) 2. （共 50 分） (1) 由题设知 L 为常数，∆ m gm RT V V p ≈ = ，代入克拉珀龙方程，得到 2 d d p L T p RT = ．（10 分） (8) 对(8)式积分，有
In p= (5分) (2)三相点为汽化线和升华线的交点,故A73W,解得三相点温度 B T B2-B1,(4 分) (10) 代入任一两相平衡曲线方程,可得三相点压强 AB-AB P (4分) 根据(⑨)式可知,汽化热 L1=RB1,(2分) 升华热 L2=RB2.(2分) 由L=T(Sm-Sm)和L2=7(S=-Sm),得熔解热 L3=7(S-m-S)=L2-L1=R(B2-B).(8分) (14) (3)根据卡诺定理, T-dt dT (5分) (15) 等温过程AB吸热Q=L,微卡诺循环ABCD可看成平行四边形,其面 积为所做的功,故W=d△Vn,因而 W_dp△n 5分) 由式(15)和(16)可得 (5分) (17) dTT△l
ln L p A RT = − ．（5 分） (9) (2) 三相点为汽化线和升华线的交点，故 1 1 2 B B2 A A T T − = − ，解得三相点温度 2 1 2 1 B B T A A − = − ．（4 分） (10) 代入任一两相平衡曲线方程，可得三相点压强 1 2 2 1 2 1 e A B A B B B p − − = ．（4 分） (11) 根据(9)式可知，汽化热 L1 = RB1，（2 分） (12) 升华热 L2 = RB2 ．（2 分） (13) 由 L1 g = T S( m − Slm ) 和 L2 g = T S( m − Ssm ) ，得熔解热 L3 l = − T S( ) m Ssm = L2 − L1 = R(B2 − B1 ) ．（8 分） (14) (3) 根据卡诺定理， d d 1 T T T T T η − = − = ．（5 分） (15) 等温过程 AB 吸热 ，微卡诺循环 ABCD 可看成平行四边形，其面 积为所做的功，故 ．因而， Q1 = L m W p = d ∆V m 1 W dp∆V Q L η = = ．（5 分） (16) 由式(15)和(16)可得， m d d ∆ p L T T V = ．（5 分） (17)