第一章绪论 1、计算下列情况的de- Broglie波长,指出那种情况要用量子力学处 理 (1)能量为0.025eV的慢中子 1.67·10-24克被铀吸收 (2)能量为5MH的粒子穿过原子H2=66410-24克 (3)飞行速度为100米秒,质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相 等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 3、利用de- Broglie关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子 能量可能值
第一章 绪论 1、计算下列情况的de − Broglie 波长，指出那种情况要用量子力学处 理： （1）能量为0.025eV 的慢中子( 克) 24 1 67 10− μ = . ⋅ n ；被铀吸收； （2）能量为5MeV的a粒子穿过原子μa = 6.64 ⋅10−24克； （3）飞行速度为 100 米/秒，质量为 40 克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相 等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用de − Broglie 关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子 能量可能值
第二章波函数与波动力学 设q(x)=Ae2(a为常数) (1)求归一化常数 2、求q1=-e和φ2=-e-的几率流密度 3、若=Ae+Be求其几率流密度,你从结果中能得到什么样 的结论?(其中k为实数) 维运动的粒子处于 P(x)=Axe-ir X≥0 00,求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数。 5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证 V×u=0 其中υ=j/p 6、一维自由运动粒子,在t=0时,波函数为 φ(,0)=8() 求:p(x,t)
第二章 波函数与波动力学 1、设 ( ) x Ae ( ) a为常数 a x2 2 2 1 − ϕ = （1）求归一化常数 （2）x ?,p ?. = x = 2、求 ikr ikr e r e r − ϕ = ϕ = 1 1 1 和 2 的几率流密度。 3、若 A(e Be ), kx −kx ϕ = + 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样 的结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ( ) x Axe x x x −λ ⎧ ≥ ϕ = ⎨ ⎩ 0,求归一化系数 A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 ∇ × υ = 0 其中υ = j/ ρ 6、一维自由运动粒子，在t = 0时，波函数为 ( ) () x, x ϕ = δ 0 求： ϕ(x,t) = ? 2
第三章一维定态问题 1、粒子处于位场 中,求:E>V时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动) 2、一粒子在一维势场 0 0<x<a 中运动。 (1)求粒子的能级和对应的波函数 (2)若粒子处于φn(x)态,证明:X=a/2, 8 3、若在x轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为 Ae+Be vce Be C=SIA+S12 B=S,iA+SD 这即“出射”波和“入射”波之间的关系
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ( ) 0 0 0 0 0 0 〉 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ 〈 = V V x x V 中，求：E＞V0 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∞ 〉 ≤ ≤ ∞ 〉 = 0 0 0 0 x x a x V(x) 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于 (x) ϕn 态，证明：x = a / 2, ( ) . n a x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − = − 2 2 2 2 8 1 12 3、若在 x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 − − ⎧ + ψ = ⎨ ⎩ + 位垒左 位垒右 ikx ikx ikx ikx Ae Be Ce Be 如 B S A S D C S A S D 21 22 11 12 = + = + 这即“出射”波和“入射”波之间的关系
证明: S1S1y+S,1S22= 2 0 这表明S是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 0≤x≤ 5、求粒子在下列位场中运动的能级 ≤0 >0 6、粒子以动能E入射,受到双δ势垒作用 v()=Vo(x)+8(x-a) 求反射几率和透射几率,以及发生完全透射的条件 E 0 X 7、质量为m的粒子处于一维谐振子势场V(x)的基态, k>0 (1)若弹性系数k突然变为2k,即势场变为 k 随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场V2基态几率;
证明： 0 1 1 11 12 21 22 2 22 2 21 2 12 2 11 + = + = + = ∗ ∗ S S S S S S S S 这表明 S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ ∞ (x) （1）若弹性系数k 突然变为2k ，即势场变为 2 V2 kx (X) = 随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场V2 基态几率；
(2)势场Ⅴ1突然变成Ⅴ2后,不进行测量,经过一段时间r后,势场又恢复成 V1,问τ取什么值时,粒子仍恢复到原来V场的基态。 8、设一维谐振子处于基态,求它的△x2,△p3,并验证测不准关系
（2）势场V1突然变成V2 后，不进行测量，经过一段时间τ 后，势场又恢复成 V1，问τ 取什么值时，粒子仍恢复到原来V1场的基态。 8、设一维谐振子处于基态，求它的 2 2 px Δx ,Δ ，并验证测不准关系
第四章量子力学中的力学量 若H (2+p] +p2)+v( 证明:[H,P]=in [H,x=-in Px 2、设[qp]=inpf(q)是q的可微函数,证明 (1)a, p-f(q)=2ihpf (2)p,pf(q)]=pr; 3、证明 LA, B, C]+B,C, A+C,A, b=o 4、如果,A,B是厄密算符 a+B A, B 是厄密算符; (2)求出AB是厄密算符的条件 证明 ae-l=a+l,a +A 3 6、如果A,B与它们的对易子A,B都对易,证明 提示,考虑()=2,c2.c2(+,i明=[A,时然后积分 7、设是一小量,算符A和A_存在,求证 A-2B)-=A-+2A-BA-+22A-+2A-BA-BA-+A 8、如uni是能量En的本征函数(i为简并指标),证明
第四章 量子力学中的力学量 1、 若 ( ) H px + py + pz + V(x,y,z) μ = 2 2 2 2 1 证明： , x V [H,P ] i x ∂ ∂ = η , p [H,x] i x μ = − η 2、设[ ] q,p = iη,f(q)是q 的可微函数，证明 （1）[q,p f(q)] 2ihpf, 2 = （2）[ ] p f ; i p,p f(q) = ′ 2 η 2 3、证明 + + B]] ≡ 0 ˆ A, ˆ C,[ ˆ A]] [ ˆ C, ˆ B,[ ˆ C]] [ ˆ B, ˆ A,[ ˆ [ 4、如果， A Bˆ ,ˆ 是厄密算符 （1）证明( ) [ ] Bˆ A, ˆ B ,i Aˆ ˆ n + 是厄密算符； （2）求出Aˆ Bˆ 是厄密算符的条件。 5、证明： = + [ ]+ [ [ ]]+ [ [ [ ] ]]+Λ − Aˆ L, ˆ L, ˆ L, ˆ ! A, ˆ L, ˆ L, ˆ ! Aˆ L, A ˆ Aeˆ eL Lˆ 3 1 2 1 6、如果A,B 与它们的对易子[ B] ˆ A, ˆ 都对易，证明 [ B] ˆ A, Aˆ B ˆ A Bˆ e e e 2 1 + + ⋅ = （提示，考虑 ( ) f( ) e e e , λAˆ λBˆ −λ Aˆ +Bˆ λ = ⋅ ⋅ 证明 [ ] A,B f d df = λ λ 然后积分） 7、设λ 是一小量，算符 −1 Aˆ 和Aˆ 存在，求证 − λ = + λ + λ + λ +Λ −1 −1 −1 −1 2 −1 2 −1 −1 −1 Aˆ Aˆ Bˆ Aˆ Aˆ Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ Aˆ B) Aˆ ˆ ( 8、如uni是能量En 的本征函数（i为简并指标 ），证明
∫u(px+D3x)dx=0 从而证明:可 uniPxxunj4=,6j 9、一维谐振子处在基态 q(x)= -a2x2/2 求:(1)势能的平均值A=-moX2; (2)动能的平均值T=P2/2m; (3)动量的几率分布函数 mo 其中 n 10、若L=Lx±iLy,证明 l=±nL士 (2)L+Im=C1 YIm+ L Y=C,Y i-1=1( 1、设粒子处于Ym1(,)状态,利用上题结果求△l2,△l2 12、利用力学量的平均值随时间的变化,求证一维自由运动的△X2随时间 的变化为 (x2)-ax2)+2 4(xP+Px)-)+ (注:自由粒子P,P3与时间无关)
∫ ( ) + = ∗ u xp p x u dx 0 ni x x nj 从而证明： ∫ τ = δ unipxxunjd ij i 2 η 9、一维谐振子处在基态 ( ) 2 1 2 2 2 a x / / e a x − π ϕ = 求： （1）势能的平均值A m X ; 2 2 2 1 = ω （2）动能的平均值T P / m; x 2 2 = （3）动量的几率分布函数 其中 η ω = m a 10、若L L iL ± = ± x y ,证明 (1) ± = ± L± ˆ L ] ˆ L , ˆ [ z η 0 2 2 [Lˆ ,Lˆ + ] = [Lˆ ,Lˆ − ] = (2) + 1 +1 L Ylm = C Ylm ˆ − 2 −1 L Ylm = C Ylm ˆ (3) ( ) − = + + + −L− Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ ˆ x y 2 2 2 1 11、设粒子处于Y ( , ) lm θ ϕ 状态，利用上题结果求 2 2 x y Δl ,Δl 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的 2 ΔX 随时间 的变化为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 2 2 1 X X XP p X x p P t x t t X X x Δ μ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − μ Δ = Δ + （注：自由粒子 2 x Px P , 与时间无关）
第五章变量可分离型的波动方程 1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级 对于球方位势 r>0 试给出有n个1=0的束缚态条件 3、设氢原子处于状态 qG,)=2R2()n92R2()N-1(.9 求氢原子能量,角动量平方和角动量分量的可能值,以及这些可能值出现的 几率和这些力学量的平均量。 4、证明 ,=v 5、设氢原子处于基态,求电子处于经典力学不允许区域(E-V=T(0)的 几率。 6、设v()=Br2+A/r2,其中A,BO,求粒子的能量本征值。 7、设粒子在半径为a,高为h的园筒中运动,在筒内位能为0,筒壁和筒 外位能为无穷大,求粒子的能量本征值和本征函数。 8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动,原子实 电场近似地可用下面的电势表示:
第五章 变量可分离型的波动方程 1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势 ( ) ⎧ > = ⎨ ⎩ < 0 0 0 0 r V r V r a 试给出有n个l = 0 的束缚态条件。 3、设氢原子处于状态 ϕ( ) r,θ,ϕ = R21() ( ) r Y10 θ,ϕ − R21() ( ) r Y1−1 θ,ϕ 2 3 2 1 求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的 几率和这些力学量的平均量。 4、证明 [ ] r r ,r ∂ ∂ ∇ = + 1 2 1 2 [ ] ∇ ,r = ∇ 2 2 1 5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域(E − V = T〈0)的 几率。 6、设 ( ) 0 2 2 V r = Br + A / r ,其中A,B〉 ，求粒子的能量本征值。 7、设粒子在半径为a ，高为h 的园筒中运动，在筒内位能为 0，筒壁和筒 外位能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。 8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实 电场近似地可用下面的电势表示：
Z'e A 其中,Ze表示原子实的电荷,A>0,证明,电子在原子实电场中的能量为 e z 2n2(n+81)2 而81为的函数,讨论δ1何时较小,求出81小时,Em1公式,并讨论能级的简 并度。 9、粒子作一维运动,其哈密顿量 H px 0 +Ⅴ(x) 的能级为E),试用 Feynman- Hellmann定理,求 H=H 的能级En 10、设有两个一维势阱 v,)sv2() 若粒子在两势阱中都存在束缚能级,分别为Em,E2n(n=1,2A) (1)证明E1n≤E2n (提示:令V(,x)=(-N1+V2) (2)若粒子的势场 (X) Kb 中运动,试估计其束缚能总数的上、下限 11、证明在规范变换下 q
( ) 2 r A r Z e r + ′ φ = 其中，Z′e表示原子实的电荷，A > 0，证明，电子在原子实电场中的能量为 ( ) 2 2 4 2 1 2 l nl n e z E + δ μ ′ = − η 而 l δ 为l 的函数，讨论 l δ 何时较小，求出 l δ 小时，Enl 公式，并讨论能级的简 并度。 9、粒子作一维运动，其哈密顿量 ( ) x x V m p H = + 2 2 0 的能级为 ( ) En 0 ，试用Feynmen − Hellmann 定理，求 m P H H λ x = 0 + 的能级En 。 10、设有两个一维势阱 V (x) V (x) 1 ≤ 2 若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为 ( 1 2Λ ) 1 2 E ,E n , n n = （1）证明E1n ≤ E2n （提示：令 ( )( ) 1 2 V λ, x = 1− λ V + λV ） （2）若粒子的势场 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = KX x b Kb x b V(X) 2 2 2 1 2 1 中运动，试估计其束缚能总数的上、下限 11、证明在规范变换下 ρ = ϕ∗ϕ ( ) ϕ∗ϕ μ ϕ∗ ϕ − ϕ ϕ − μ = ∗ ρ Aˆ c q Pˆ Pˆ j 2 1
q 不变。 12、计算氢原子中3D→2P的三条塞曼线的波长 13.带电粒子在外磁场B=(0,0B)中运动,如选 A B,xB,O|或=(0,xB,0) 试求其本征函数和本征值,并对结果进行讨论 14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E及均匀磁场B中运动,求其能谱 和波函数(取磁场方向为Z轴方向,电场方向为X轴方向)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ μυ = − Aˆ c q Pˆ ˆ 不变。 12、计算氢原子中3D → 2P的三条塞曼线的波长。 13．带电粒子在外磁场B = (0,0,B) ρ 中运动，如选 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 2 1 2 1 A yB, xB, ˆ 或A = (0, xB,0) ρ 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。 14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场 E 及均匀磁场 B 中运动，求其能谱 和波函数（取磁场方向为 Z 轴方向，电场方向为 X 轴方向）