量子力学期末试题A 姓名 学号 四五六|习题总分 (10分)若S是电子的自旋算符,求 b.S×S (12分)若有已归一化的三个态a)1B和y),且有 a|B)=(Ba)=03 (a1y)2=(ya)=02 (B(y)=(yB)=08 试用 Schmidt方法构成正交,归一的新的态矢量 2)B)和y (16分)算符Sn -e s0/29/n是电子自 旋算符S2经幺正变换而得。试求出它的本征值和相应的本 征矢在S表象中的表示 四.(18分)在t0时,自由粒子波函数为 2 sin bx Y(x, b a.给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振 幅 b.求出几率最大的动量值 c.求出发现粒子在巾b-m+dpx区间中的几率; d.y(x,t)=?(积分形式即可)。 五(18分)三个自旋为的全同粒子,在一维位势 (x1,x2x3) ma-(X12+X22+X 中运动
量子力学期末试题 A 姓名: 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 习题 总分 成绩 一.（10 分）若Sˆ 是电子的自旋算符，求 a. Sx ˆ Sz ˆ Sx ˆ Sy ˆ Sx ˆ =? b. S ? Sˆ × ˆ = 二．（12 分）若有已归一化的三个态 α , β 和γ ，且有 0.8 0.2 0.3 = = = = = = β γ γ β α γ γ α α β β α , 试用 Schmidt 方法构成正交，归一的新的态矢量 α , β ′ 和γ ′ . 三．（16 分） 算符 η η Sy / η iSˆ z / η ˆi z / Syˆi / Sz ˆi n S e e ˆ S e e ˆ − ϕ − θ θ ϕ = 是电子自 旋算符Sz ˆ 经幺正变换而得。试求出它的本征值和相应的本 征矢在Sz ˆ 表象中的表示。 四．（18 分）在 t=0 时，自由粒子波函数为 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < = b 2 0 x b 2 b 2 sin bx x x,0 π π π ψ a. 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振 幅； b. 求出几率最大的动量值； c. 求出发现粒子在ηb − ηb + dpx 区间中的几率； d. ψ ( ) x,t = ? （积分形式即可）。 五. (18 分) 三个自旋为 2 η的全同粒子，在一维位势 ( ) m (x x x ) 2 1 V 2 3 2 2 2 1 2 3 ,x 2 ,x 1x = ω + + 中运动
a.给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应 的本征矢;(谐振子波函数以un(x)表示); b.它们的简并度分别是多少? 六.(16分)质量为m的粒子处于位势 V(x, y, z) 00<x≤a0<y≤a和0<z≤a 其他 中。假设它又经受微扰′=bxy,试求第一激发态能量的一级修
a. 给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应 的本征矢；（谐振子波函数以u (x) n 表示）； b. 它们的简并度分别是多少？ 六．（16 分）质量为 m 的粒子处于位势 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∞ < ≤ < ≤ < ≤ = 其他 0 0 x a,0 y a和0 z a V x, y,z 中。假设它又经受微扰H bxy ˆ ′ = ，试求第一激发态能量的一级修 正
量子力学期末试题A答案和评分 (10分) 5分a. SxSzSxSySx n S,SyS=i( )sx =i 分 bsxs=i(sys-S,Sy)+j(s,sx -Sxs,)+k(sxSy-SyS)=ins 二.(12分)(aa)=1:|a"=|a 4分βP=N(P)-aa|B)=N(P)-0.3a) 由(p"p")=1=N2(P-0.3a)(P)-0.3a)=N2(1-0.32·2+0.32) 分N .91 P)-0.3a) 分Y=N(y)-0.2a)-fP^βy) y=1=N(y)-0.2yx)-(p)yrp-0.2(a)+0202 Br=6(B (y2-03(a)= 0.91 N2·(1-0.220.3 097-0.2+0.22)=N 20.326 0.91 2分 N=1.67 三(6分)S2m)=m,m) nm)=e-19/"e"3,e“50门49mm 如 ),则Sm)=,mm) 6分∴它的本征值为± 相应的本征值在S2表象中的表示 (m'm =(m(cosD-io, sin %)(cos8-io, sin ) m) (m'lcos p cos, -loy casg >im sin cos +io, sin 0 e e SIn (m lcos (cos -im sin d)+sin 1(_e i9/2-0+e-ip/2)m)
量子力学期末试题 A 答案和评分 一. (10 分) 5 分 a. x z x y x s s s s s y x 2 z x = −s s s s 5 z y x 2 ) 2 s s s i( 4 η η = − = 或 5 y z z y x 2 ) 2 (s s s s )s i( 2 1 4 η η = − − = 5 分 b. s s i(s s s s ) j(s s s s ) k(s s s s ) i s y z z y z x x z x y y x η ρ ρ ρ × = − + − + − = 二．(12 分) α α = 1 ∴ α′ = α 4 分 β′ = N( β − α α β ) = N( β − 0.3 α ) 由 N ( . )( . ) N ( . . ) 2 2 2 2 β′ β′ = 1 = β − 0 3 α β − 0 3 α = 1− 0 3 ⋅ 2 + 0 3 2 分 0.91 1 N = ， ( 0.3 ) 0.91 1 β′ = β − α 4 分 γ′ = N( γ − 0.2 α − β′ β′ γ ) 1 0 2 0 2 0 2 0 2 2 γ′ γ′ = = N ( γ γ − . γ α − β′ γ γ β′ − . α γ + . ⋅ . − β′ γ γ β′ + β′ γ γ β′ ) 0 91 0 74 0 3 0 91 1 . . ( . ) . β′ γ = β γ − α γ = 1 0 91 0 326 0 2 0 2 0 91 0 74 1 0 2 2 2 2 2 2 2 ⋅ − − − + = = . . . . ) N . . N ( . ， 2 分 N = 1.67 三. (16 分) m 2 sˆ z m m η = ′ =′ − ϕ − θ θ ϕ sˆ m e z e y sˆ e y e z m isˆ isˆ z isˆ isˆ n η η η η 如 ′ =′ − ϕ − θ m e z e y m isˆ isˆ η η ， 则 ′ =′ m m 2 sˆn m η 6 分 ∴ 它的本征值为 2 η ± 相应的本征值在 z sˆ 表象中的表示 m m m (cos i z sin )(cos i y sin ) m 2 2 2 2 θ − σ ϕ θ − σ ϕ = ′ ′ ′ m (cos cos i y cos sin imsin cos i x sin sin m 2 2 2 2 2 2 2 2 ϕ θ + σ ϕ θ − ϕ θ − σ ϕ θ ′ m cos (cos imsin ) sin ( e e ) m i 2 i 2 2 2 2 2 − ϕ + ϕ σ− − σ θ + ϕ − θ ϕ = ′
6分 6iq/2 cos-e +sin(±)+928 cos曰e-2 2分Sn本征值为n/2,本征表示为 sincere/ 2 2分 n/2,本征表示为 cos-e 四.(18分) 2π/b ibx -ibx 6分aq Ipx/n /2 -2π/b 2 2 Air le i(bx-p ' n -i(bx+px/n) d b r/b (b-P3/n)x -i(b+px/n)x 4πini(b i(b+px/n) (nb)"-(+2i)sin 2Tp x 2nb mb (nb)*-p 该态中粒子动量可能测得值为-∞<p<∞ 5分bp)2 d 0 2 2tp nb (nb)2-P222 4 Cos sin nb nb mb (nb)-p I(nb)"-pxIcos 2πpx,pxpb SIn 2IPx=O 有解p、=±mb 2π2兀 cos-tpx =(mb)3/2nb 3分c.pxmbπ 发现粒子在nb-ηb+dx区间中的几率为 p(nb)2dp.=I nb
6 分 m 1,m 1 m 1,m 1 i 2 m m 1 i 2 ( )e 2 e sin 2 cos =− ′= = ′=− ± ϕ ′= =± ϕ ± δ θ + θ = μ 2 分 nsˆ 本征值为η 2 ，本征表示为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ ϕ − ϕ i 2 i 2 e 2 sin e 2 cos 2 分 − η 2，本征表示为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ − ϕ − ϕ i 2 i 2 e 2 cos e 2 sin 四. (18 分) 6 分 a. dx 2i e e 2 b e 2 1 2 b ibx ibx 2 b ip x p x x π − − π − − π π ϕ = ∫ η η [e e ]dx 4i 1 ) b ( 1 2 i(bx p x) i(bx p x / ) x η x η η − − + − π = ∫ e ] i(b p ) e i(b p ) [ b i b b i(b p )x x b b i(b p )x x x x π − π − + π − π − + + π − = 2 2 2 2 1 1 4 1 η η η η η 2 x 2 1 2 x ( b) p 2 b b 2 p ( b) ( 2i)sin 4 1 − π + π = η η η η 该态中粒子动量可能测得值为 − ∞ < px < ∞ 5 分 b. } b [( b) p ] p {sin dp d dp d (p ) x x x x x 2 2 2 2 2 2 1 0 − π = = ϕ η η ∴ 0 4 2 2 4 2 2 = − π + π π x x x x ( b) p p b p sin b p cos ηb η η η 0 b 2 p sin p b b 2 p [( b) p ]cos 2 x x x x 2 = π π + π − η η η η ∴ 有解 px = ±ηb 3 分 c. b x x 3 2 x b 2p b 2 p cos b 2 ( b) i (p ) η η η η η − π π π ϕ = 发现粒子在ηb − ηb + dpx 区间中的几率为 x x 2 dp b 1 ( b) dp η ϕ η =
分dv(x,t)=∫q(p (2rn) 五.(18分) a.2分 (n+=)n 3分E: n0,E1=10 2 基态no=2 (1)a(l)uo(2)(2)uo(3)a( 2分vo uo()()uo(2)(2)u0()(3) u(u)P()u(2)(2)u(3)P(3) luo()u0(2)012)u1(3)a(3)-uo(1)uo(3)(13)u1(2)a(2) +uo(2)u0(3)00(23)u1(1)a(1) 1分v02=;{uo()u0(2x0042)u1(3)(3) (13)u1(2(2 +u0(2)u0(3)00(23)u1(l)() 第一激发态n0=2,n2=1 2分W1=3同0u2mx0(2)20(3) (1)u0(3x00(13)u2(2)a(2) +u0(2)u0(3)00(23)u2(1)a(1) 1分W12=;|uo(l)u0(2)x(12川u2(3)B(3) uo(1)u0(3)X0(3)u2(2)(2) +u0(2川u0(3)x0(23)u1(1)(1) 2分v13=[u1(1)u1(2)(2)u0(3)a(3) u1()u1(3x00(13)u0(2)a(2) +u1(2)u1(3)00(23)u0()a(l 1分w,1 u1(1)u1(2)0012)u(3)P(3) 1(1)u1(3x0013)u0(2)β( u(2)u1(3)X0(23)uo()(l b.4分基态二重简并 第一激发态四重简并 六.(16分)
4 分 d. x t 2m p ip i 1 2 x e dp (2 ) 1 (x,t) (p ) 2 x x ∫ − π ψ = ϕ η η η 五. (18 分) a. 2 分 ε = + )ηω 2 1 n (n , 3 分 = ηω 2 5 E基 , = ηω 2 7 E1 基态 n 2 0 = ，n 1 1 = 2 分 u ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) ! 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01 β β β β β β α α α ψ = [u (1)u (2) (12)u (3) (3) u (1)u (3) (13)u (2) (2) 3 1 = 0 0 χ00 1 α − 0 0 χ00 1 α u (2)u (3) (23)u (1) (1)] + 0 0 χ00 1 α 1 分 [u (1)u (2) (12)u (3) (3) 3 1 ψ02 = 0 0 χ00 1 β u (1)u (3) (13)u (2) (2) − 0 0 χ00 1 β u (2)u (3) (23)u (1) (1)] + 0 0 χ00 1 β 第一激发态 n 2 0 = ，n 1 2 = 2 分 [u (1)u (2) (12)u (3) (3) 3 1 ψ11 = 0 0 χ00 2 α u (1)u (3) (13)u (2) (2) − 0 0 χ00 2 α u (2)u (3) (23)u (1) (1)] + 0 0 χ00 2 α 1 分 [u (1)u (2) (12)u (3) (3) 3 1 ψ12 = 0 0 χ00 2 β u (1)u (3) (13)u (2) (2) − 0 0 χ00 2 β u (2)u (3) (23)u (1) (1)] + 0 0 χ00 1 β 2 分 [u (1)u (2) (12)u (3) (3) 3 1 ψ13 = 1 1 χ00 0 α u (1)u (3) (13)u (2) (2) − 1 1 χ00 0 α u (2)u (3) (23)u (1) (1)] + 1 1 χ00 0 α 1 分 [u (1)u (2) (12)u (3) (3) 3 1 ψ14 = 1 1 χ00 0 β u (1)u (3) (13)u (2) (2) − 1 1 χ00 0 β u (2)u (3) (23)u (1) (1)] + 1 1 χ00 0 β b. 4 分 基态二重简并 第一激发态四重简并 六. (16 分)
分粒子的能量为(n2+n2+n2) 2ma 第一激发态为112 211 Ei (1+1+4 2 5分 2 2兀 sn-xsn-ysin—z (F2=(3/ sin"xsinysi 3) 2π Xshn-ysin—Z 的1=(yxsm2 xdx sin2死 XSIn .b=-b (1H2=H13)=0 2 2H2) =(basin*xdx ysit 2 2兀 (2H 3=(b]xsin"=.""ydy 2 82 4ba2.64 (-)b( 9: 81 (3H3=()的5:2ysin2yd-4 0 4分于是有: ba -E1 64.4ba 0 64.4ba21 ba-E 81π 2分 b 2分 817448%ba2=±(元 64.4
3 分 粒子的能量为 (n n n ) ma x y z 2 2 2 2 2 2 2 + + π η 第一激发态为 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 0 1 3 1 1 4 2 a ( ) ma E π π + + = π = η η ， 5 分 z a 2 y sin a xsin a ) sin a 2 r 1 ( 3 2 π π π = ρ z a y sin a 2 xsin a ) sin a 2 r 2 ( 3 2 π π π = ρ z a y sin a xsin a 2 ) sin a 2 r 3 ( 3 2 π π π = ρ ydy a xdx y sin a ) xsin a 2 H 1 ( ˆ 1 a 0 2 a 0 2 2 ∫ ∫ π ⋅ π ′ = 4 a xdx a xsin a 2 0 2 = π ∫ ∴ 2 2 2 2 ba 4 1 b 4 a 4 a ) a 2 1 H′ 1 = ( ⋅ ⋅ ⋅ = 1 H′ 2 = 1 H′ 3 = 0 2 a 0 2 a 0 2 2 ba 4 1 ydy a 2 xdx y sin a ) b xsin a 2 2 H 2 ( = π ⋅ π ′ = ∫ ∫ ydy a y sin a 2 xdx y sin a 2 xsin a ) b xsin a 2 2 H 3 ( a 0 a 0 2 ∫ ∫ π π ⋅ π π ′ = 4 2 2 2 2 2 2 81 4ba 64 ) 9 8a )( 9 8a ) b( a 2 ( π ⋅ = π − π = − 2 a 0 2 a 0 2 2 ba 4 1 ydy a xdx y sin a 2 ) b xsin a 2 3 H 3 ( = π ⋅ π ′ = ∫ ∫ 4 分 于是有： 0 ba E 4 1 81 64 4ba 0 81 64 4ba ba E 4 1 0 ba E 0 0 4 1 2 1 4 2 4 2 2 1 2 1 = − π ⋅ π ⋅ − − 2 分 ∴ 1 2 1 ba 4 1 E = 2 分 2 4 2 4 4 2 1 2 2 3 3 4 4 1 81 64 4 4 1 81 64 4 4 1 ( )ba [ ( ) ]ba ba E , ba π = ± π ⋅ = ± π ⋅ = ±
