教案讨论 Bose- Einstein凝结 内容: 凝结 2.理论 3.实验 要点 物理上,说明产生凝结的原因是: (1)波粒二象性引起的聚集效应; (2)低能状态的稀少 2.数学上,分析“相对粒子数”和化学势随温度的变化。 方法上,用图形帮助说明公式
1 教案讨论 Bose-Einstein 凝结 内容： 1． 凝结 2． 理论 3． 实验 要点： 1． 物理上，说明产生凝结的原因是： (1) 波粒二象性引起的聚集效应； (2) 低能状态的稀少。 2. 数学上，分析“相对粒子数”和化学势随温度的变化。 3. 方法上，用图形帮助说明公式
Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 1.凝结 1.1热力学极限 N 在边长为L的立方容器(体积V=L3)中,装有N个粒子,密度为P=V 无外场作用时,空间分析均匀,ρ是常数.对宏观体系,N极大,N~103 可取热力学极限:N→∞,V→∞,但保持密度ρ不变.见图1.1 粒子的动量为p,自由粒子的动能为E(p)=P 图1.1 1.2动量空间 粒子的状态由动量P(p2,P,p2)表述,在动量空间中,每个状态对应于 点.见图12 波粒二象性要求动量量子化 h P:-nL (1.1) 能量最低的状态是p=0,零动量是基态.动量间隔为 (1.2) 对三维体系,动量空间中,每个状态占据的体积是 由图12可知,在动量空间中,厚度为的球壳层中的状态数目是
2 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 1. 凝结 1.1 热力学极限 在边长为 L 的立方容器（体积 3 V = L ）中，装有 N 个粒子，密度为 V N ρ = ． 无外场作用时，空间分析均匀，ρ 是常数．对宏观体系，N 极大， 23 N ~ 10 ， 可取热力学极限： N → ∞ ，V → ∞ ，但保持密度 ρ 不变．见图 1.1． 粒子的动量为 p ，自由粒子的动能为 m p 2 ( ) 2 ε p = ． py px pz p dp 1.2 动量空间 粒子的状态由动量 ( , , ) x y z p p p p 表述．在动量空间中，每个状态对应于一 点．见图 1.2． 波粒二象性要求动量量子化： L h p n i = i ，ni = 0, ±1, ± 2,K，i = 1, 2, 3． (1.1) 能量最低的状态是 p = 0，零动量是基态．动量间隔为 L h p∆ i = ， L → ∞． (1.2) 对三维体系，动量空间中，每个状态占据的体积是 V h L h v 3 3 = ∆ = ． (1.3) 由图 1.2 可知，在动量空间中，厚度为的球壳层中的状态数目是 图 1.1 图 1.2
φ中4m Ay(1/) (14) 所以,动量空间的态密度是 dn 4p-v 无外场时,粒子在坐标空间中的分布是均匀的.但是,在动量空间中,因为 E(p)=,动量大的粒子具有较高能量.在温度为T的平衡态下,能量愈高 2m 出现的几率愈小,因而,在动量空间中,粒子数按动量的分布a是不均匀的 动量愈大,粒子数a愈少 13经典分布 平衡态的统计理论已求得分布几率,对于经典统计( boltzmann分布) A 其中A是归一化常数,由总粒子数N确定 ∑ 如果将A用另一个参数山表示成A≡e/r 则(1.6)式可写成 pe-E(p)-Hykr (1 μ称为“化学势”,也由(1.7)式确定,此时可写成 -s(P)/I= (1.9) 将对p的求和变为积分,即∑→,(19式变为」==N,或 这说明μ是温度T和密度p的函数,与N和V无直接关系.在热力学极限过程中, μ不变
1．凝结 3 ( )3 2 2 4 4 h L p dp v p dp dn π π = ∆ = ， (1.4) 所以，动量空间的态密度是 3 2 4 ( ) h p V dp dn D p π = = ． (1.5) 无外场时，粒子在坐标空间中的分布是均匀的．但是，在动量空间中，因为 m p 2 ( ) 2 ε p = ，动量大的粒子具有较高能量．在温度为T 的平衡态下，能量愈高， 出现的几率愈小．因而，在动量空间中，粒子数按动量的分布 p a 是不均匀的， 动量愈大，粒子数 p a 愈少． 1.3 经典分布 平衡态的统计理论已求得分布几率，对于经典统计（Boltzmann 分布）， kT a Ae ( p) p −ε = ， (1.6) 其中 A是归一化常数，由总粒子数 N 确定： ∑a = N p p ． (1.7) 如果将 A用另一个参数 µ 表示成 kT A eµ ≡ ， 则(1.6)式可写成 [ ] kT a e− ε −µ = ( p) p ． (1.8) µ 称为“化学势”，也由(1.7)式确定，此时可写成 e e N kT kT ∑ = − p µ ε ( p) ． (1.9) 将对 p 的求和变为积分，即∑→ ∫ p p d h V 3 ，(1.9)式变为 N h Vd e e kT kT = ∫ − 3 µ ε ( p) p ，或 ∫ − = p p e d h e kT kT ( ) 3 ε µ ρ ． (1.10) 这说明 µ 是温度T 和密度 ρ 的函数，与 N 和V 无直接关系．在热力学极限过程中， µ 不变．
Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 由此可知,虽然N→∞,但每个状态上的粒子数an并不变这是因为,在 热力学极限下,L→∞,Δ=h/L减少,状态数目在增加,这导致N→∞ Ao(T=ao(T). ao(T2) ao(T1) 图14 经典分布(18)式如图1.3所示,具有下述特点 (1)在任何温度T(T>0K)下,任何状态P上的粒子数目an都是有限的,具有 零动量的粒子数a0=e"也是有限的 2)当温度固定时,取热力学极限,即在保持密度ρ不变的条件下(此时μ不会 改变),让N→∞,由于μ不变,a则不变.相对于总粒子数N,零动量上 粒子数的比例为A=a/N,可称为“相对粒子数”.因此在热力学极限下, 相对粒子数 Ao (3)当温度降低时,比较图1.3中的两条曲线(T20K)如 何降低,零动量上的相对粒子数A总是零.此特征如图14所示 结论: 对于经典统计,当温度变化时,零动量上相对粒子数A4(T)总是零,没有变 化,因而无相变 只有当T→0时,经典粒子全部停止运动,此时A(O)=1.相变只在绝对零 度上发生,无实际意义
4 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 由此可知，虽然 N → ∞ ，但每个状态上的粒子数 p a 并不变．这是因为，在 热力学极限下， L → ∞，∆p = h L减少，状态数目在增加，这导致 N → ∞ ． ap p T1 T2 0 K）下，任何状态 p 上的粒子数目 p a 都是有限的，具有 零动量的粒子数 kT a eµ 0 = 也是有限的． (2) 当温度固定时，取热力学极限，即在保持密度 ρ 不变的条件下（此时 µ 不会 改变），让 N → ∞ ．由于 µ 不变，a0 则不变．相对于总粒子数 N ，零动量上 粒子数的比例为 A0 ≡ a0 N ，可称为“相对粒子数”．因此在热力学极限下， 相对粒子数 0 0 0 = → N a A ． (1.11) (3) 当温度降低时，比较图 1.3 中的两条曲线（T2 0 K）如 何降低，零动量上的相对粒子数 A0总是零．此特征如图 1.4 所示． 结论： 对于经典统计，当温度变化时，零动量上相对粒子数 ( ) A0 T 总是零，没有变 化，因而无相变． 只有当T → 0 时，经典粒子全部停止运动，此时 A0 (0) = 1．相变只在绝对零 度上发生，无实际意义． 图 1.3 图 1.4
14化学势μ随温度的变化(经典统计) μ由总粒子数为N的条件(19)式确定,此式可写成 根据此式,不难证明,当T降低时,μ将增加:观察(1.12)式左边的指数 a(p)-山kT,当T降低时,分母变小,为了使求和保持为N,分子(p)-也 得相应地变小,由于s(p)不随T而变,只能是变大 设μ=0对应的温度为T,它由下式确定: E(P)kTo=N (1.13) 因此,山(T)随T的变化如图1.5所示 Ao(T) 图1.6 15B-E分布 量子体系与经典体系的差别在于全同粒子是否可以分辨.当交换两个相同粒 子时,经典统计认为是不同的状态,量子统计认为是同一状态.由于此种差别, 对于Bose粒子,其统计分布变为 (1.14) 与经典分布(1.14)式的差别只是在分母上多了一项-1,若略去此项,(1.14)式就 回到经典统计 Bose和 Einstein在1924年从理论上发现,当温度降低时,会发生一种相变, 称为B-E凝结 16B-E凝结 对于经典体系,前面已看到,当T降低时,具有零动量的相对粒子数A4总
1．凝结 5 1.4 化学势 µ 随温度的变化（经典统计） µ 由总粒子数为 N 的条件(1.9)式确定．此式可写成 [ ] e N kT ∑ = − − p ε ( p) µ ． (1.12) 根据此式，不难证明，当 T 降低时， µ 将增加：观察(1.12)式左边的指数 [ ] ε ( p) − µ kT ，当T降低时，分母变小．为了使求和保持为 N ，分子ε ( p) − µ 也 得相应地变小，由于ε ( p)不随T而变，只能是 µ 变大． 设 µ = 0 对应的温度为T0 ，它由下式确定： e N kT ∑ = − p p 0 ε ( ) ． (1.13) 因此， µ(T) 随T的变化如图 1.5 所示． µ(T) T T0 A0(T) T Tc 1 1.5 B-E 分布 量子体系与经典体系的差别在于全同粒子是否可以分辨．当交换两个相同粒 子时，经典统计认为是不同的状态，量子统计认为是同一状态．由于此种差别， 对于 Bose 粒子，其统计分布变为 [ ] 1 1 ( ) − = − kT e ap ε p µ ， (1.14) 与经典分布(1.14)式的差别只是在分母上多了一项−1，若略去此项，(1.14)式就 回到经典统计． Bose 和 Einstein 在 1924 年从理论上发现，当温度降低时，会发生一种相变， 称为 B-E 凝结． 1.6 B-E 凝结 对于经典体系，前面已看到，当T 降低时，具有零动量的相对粒子数 A0 总 图 1.5 图 1.6
Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 是零(见图14),不存在相变,粒子不会聚集到零动量状态上来 对于Bose粒子,零动量的相对粒子数A(T)不再总是零,而是如图16所示: 存在一个临界温度T,当T>T时,A(T)=0,当T0;当7→>0 时,A(T)→1 这说明,当温度降低到T时,粒子开始向零动量状态上聚集.温度愈低,零 动量状态上的粒子就愈多.当T→>0时,全部粒子都聚集到零动量状态上,这称 为B-E凝结 注意,这是在动量空间的凝结.由于动量为零的波函数在坐标空间是常数 所以在坐标空间中,粒子分布仍是均匀的,不发生凝结 动量空间的凝结表示大量粒子都集中到一个量子态(基态)上,这些粒子都 具有相同的位相,是一种相干态.因为粒子总数N是宏观量,所以BE凝结是 一种宏观的量子效应,实际上它是超流和超导( Cooper对的凝结)的机理
6 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 是零（见图 1.4），不存在相变，粒子不会聚集到零动量状态上来． 对于 Bose 粒子，零动量的相对粒子数 ( ) A0 T 不再总是零，而是如图 1.6 所示： 存在一个临界温度Tc，当T > Tc 时，A0 (T) = 0，当T 0；当T → 0 时， A0 (T) →1． 这说明，当温度降低到Tc时，粒子开始向零动量状态上聚集．温度愈低，零 动量状态上的粒子就愈多．当T → 0 时，全部粒子都聚集到零动量状态上，这称 为 B-E 凝结． 注意，这是在动量空间的凝结．由于动量为零的波函数在坐标空间是常数， 所以在坐标空间中，粒子分布仍是均匀的，不发生凝结． 动量空间的凝结表示大量粒子都集中到一个量子态（基态）上，这些粒子都 具有相同的位相，是一种相干态．因为粒子总数 N 是宏观量，所以 B-E 凝结是 一种宏观的量子效应．实际上它是超流和超导（Cooper 对的凝结）的机理．
理论 2.1凝结的物理原因 在介绍B-E凝结的理论之前,先说明一下凝结的物理原因,这来源于微观粒 子的波粒二象性. 在经典统计中,粒子是定域的,任一时间都有确定的位置,因而每个粒子都 有各自的轨道.对于全同粒子,虽然它们的所有属性完全相同,但是,仍可根据 各自的轨道将它们辨别岀来.所以经典统计中的全同粒子仍是可辨别的,交换两 个粒子就出现新的状态. 在量子统计中,微观粒子具有波粒二象性,没有轨道,各个粒子的波函数相 互交叠,不能用轨道来辨认粒子.因此,量子统计与经典统计的根本差别就是: 全同粒子是不可辨别的,交换两个粒子不出现新的状态. 对于Bose粒子(同一状态上可存在许多粒子),全同粒子的不可辨别性,就 带来了聚集的倾向,这可以从两方面来说明 1.几率的对比 下面通过一个例子来说明这一道理.设粒子具有自旋(S=1),只能处于 S=+1或S=-1两个状态 (a)先讨论3个粒子的简单情况 ※对于经典统计,体系有下述8(23)个状态(一种分布可有几个不同的状态) ① ① 3个粒子聚集在一起(↑态或者↓态)的几率为P_84·非聚集的几率为 ※对于Bose统计,体系只有4个状态(一种分布只有一个状态)
2．理论 7 2. 理论 2.1 凝结的物理原因 在介绍 B-E 凝结的理论之前，先说明一下凝结的物理原因，这来源于微观粒 子的波粒二象性． 在经典统计中，粒子是定域的，任一时间都有确定的位置，因而每个粒子都 有各自的轨道．对于全同粒子，虽然它们的所有属性完全相同，但是，仍可根据 各自的轨道将它们辨别出来．所以经典统计中的全同粒子仍是可辨别的，交换两 个粒子就出现新的状态． 在量子统计中，微观粒子具有波粒二象性，没有轨道，各个粒子的波函数相 互交叠，不能用轨道来辨认粒子．因此，量子统计与经典统计的根本差别就是： 全同粒子是不可辨别的，交换两个粒子不出现新的状态． 对于 Bose 粒子（同一状态上可存在许多粒子），全同粒子的不可辨别性，就 带来了聚集的倾向，这可以从两方面来说明． 1. 几率的对比 下面通过一个例子来说明这一道理．设粒子具有自旋（ S =1），只能处于 = +1 ↑ S 或 = −1 ↓ S 两个状态． (a) 先讨论 3 个粒子的简单情况． ※ 对于经典统计，体系有下述 8（ 3 2 ）个状态（一种分布可有几个不同的状态）： ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ① ① ① ① ② ② ② ② ③ ③ ③ ③ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ① ① ① ① ② ② ② ② ③ ③ ③ ③ 3 个粒子聚集在一起（↑ 态或者↓ 态）的几率为 4 1 8 2 = = C p ．非聚集的几率为 4 3 =1− = C C q p ． ※ 对于 Bose 统计，体系只有 4 个状态（一种分布只有一个状态）．
Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) O 聚集在一起的几率为pQ=21.非聚集的几率为q°=1-p°=1 将量子情况与经典情况加以比较,可以看到:聚集的凡率増加了一倍(从经 典下的_増加为量子下的),非聚集的几率则下降了(从经典下的减少为量 2 子下的),这说明全同粒子的不可分辨性产生了聚集性 (b)再讨论对不同的聚集和离散程度,几率的变化. 上面的例子比较简单,只有一种聚集状态和一种离散状态.现在来讨论n个 粒子的情况,可有多种不同程度的聚集和离散.具体看一下,当以不同程度聚集 时,几率増加多少;不同离散程度的非聚集下,几率降低多少. 设粒子的数目n是偶数,分布团|0就是完全聚集;分布-11,-2|2 等就是程度不同的不完全聚集.同样,分布m/2n/2是最离散的非聚集,分布 n/2-11n/2+1,m/2-2|n/2+2是离散程度不同的非聚集 对每一种分布,都可在经典和量子情况下,算出其几率.将两者比较,就可 看出,不同聚集程度下,几率増加了多少;同样,对不同的离散程度,几率减少 了多少 ※经典情况 总状态数M=2",分布为-mm的状态数为Cm,此种分布的几率为 ※量子情况 每种分布就是一种状态,总状态数为n+1,各种分布的几率都是p 因此从经典变为量子,几率的变化为 pe p(n+1)Cm (21) 对于聚集情况,m<<n,此比值大于1,而且随着聚集程度的增加(m减少)
8 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 聚集在一起的几率为 2 1 4 2 = = Q p ，非聚集的几率为 2 1 = 1− = Q Q q p ． 将量子情况与经典情况加以比较，可以看到：聚集的几率增加了一倍（从经 典下的 4 1 增加为量子下的 2 1 ），非聚集的几率则下降了（从经典下的 4 3 减少为量 子下的 2 1 ），这说明全同粒子的不可分辨性产生了聚集性． (b) 再讨论对不同的聚集和离散程度，几率的变化． 上面的例子比较简单，只有一种聚集状态和一种离散状态．现在来讨论n 个 粒子的情况，可有多种不同程度的聚集和离散．具体看一下，当以不同程度聚集 时，几率增加多少；不同离散程度的非聚集下，几率降低多少． 设粒子的数目n 是偶数，分布 n | 0 就是完全聚集；分布 n −1|1 ， n − 2 | 2 等就是程度不同的不完全聚集．同样，分布 n / 2 | n / 2 是最离散的非聚集，分布 n / 2 −1| n / 2 +1 , n / 2 − 2 | n / 2 + 2 是离散程度不同的非聚集． 对每一种分布，都可在经典和量子情况下，算出其几率．将两者比较，就可 看出，不同聚集程度下，几率增加了多少；同样，对不同的离散程度，几率减少 了多少． ※ 经典情况 总状态数 n M = 2 ，分布为 n − m | m 的状态数为 m Cn ，此种分布的几率为 m n n C p = C 2 ． ※ 量子情况 每种分布就是一种状态，总状态数为n +1，各种分布的几率都是 1 1 + = n pQ 因此从经典变为量子，几率的变化为 ( ) m n n C Q p n C p 1 2 + = ． (2.1) 对于聚集情况，m << n ，此比值大于1，而且随着聚集程度的增加（m 减少）
此比值急速变大.这表明量子统计增加了聚集.对于离散情况,m~竺,此比值 小于1,而且,离散程度愈大(m更接近),比值变得更小,因此量子统计减 少了离散 当n=10时,下表列出了具体的数值 h -mIm 1010 8|2736|4 经典几率 P=Cm/2 1024 10242276853 4 量子几率 1 11 1111111 11 J(n+1) 几率变化 93.09 9.31 2.07 0.78 0.37 由上表可见,前三个分布是程度不同的聚集,几率都有所增加,聚集程度愈 大,几率也增加得愈多.四00是完全聚集,几率增加得最多,达到93倍.后三 种分布是程度不同的离散,几率都下降了;离散程度愈大,下降得愈厉害.此例 子定量表明了全同粒子不可分辨性增加了聚集,减小了离散. 2.碰撞的作用 要达到热平衡,必须通过粒子之间的碰撞,即使是理想气体,碰撞也必须考 虑,否则不能达到平衡分布,只有在达到平衡分布后,正碰和反碰的效果相互抵 消,分布不再改变.考虑到碰撞,将更清楚地看出,全同粒子不可分辨性会导致 聚集
2．理论 9 此比值急速变大．这表明量子统计增加了聚集．对于离散情况， 2 ~ n m ，此比值 小于1，而且，离散程度愈大（ m 更接近 2 n ），比值变得更小．因此量子统计减 少了离散． 当n = 10时，下表列出了具体的数值 分 布 n − m | m 10 | 0 9 |1 8 | 2 7 | 3 6 | 4 5 | 5 经典几率 m n n C p = C 2 1024 1 102.4 1 22.76 1 8.53 1 4.88 1 4.06 1 量子几率 p =1 ( ) n +1 Q 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 几率变化 Q C p p 93.09 9.31 2.07 0.78 0.44 0.37 由上表可见，前三个分布是程度不同的聚集，几率都有所增加，聚集程度愈 大，几率也增加得愈多．10 | 0 是完全聚集，几率增加得最多，达到93倍．后三 种分布是程度不同的离散，几率都下降了；离散程度愈大，下降得愈厉害．此例 子定量表明了全同粒子不可分辨性增加了聚集，减小了离散． 2. 碰撞的作用 要达到热平衡，必须通过粒子之间的碰撞，即使是理想气体，碰撞也必须考 虑，否则不能达到平衡分布，只有在达到平衡分布后，正碰和反碰的效果相互抵 消，分布不再改变．考虑到碰撞，将更清楚地看出，全同粒子不可分辨性会导致 聚集． p p′ k k′ 图 2.1
Bose- Instein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 当粒子相互碰撞时,动量为p和p'的两个粒子,在碰撞后,动量变为k和k', 见图21.如果,在碰撞前,动量为p和p'上的粒子数分别为an和an,经过碰 撞,体系的状态要变化 对于经典粒子,碰撞所引起的状态变化几率WC正比于碰撞前的粒子数an和 v’与碰撞后的粒子数无关,即 W (2.2) 对于量子情况,如前所述,由于全同粒子不可能分辨,对粒子不能加以编号, 一种状态就是一种分布,可写为W2=1anan…a…a4…),它表示在动量为p, p,k和k上的粒子数分别为an,ana和a4个,其它动量上的粒子数未明 显写出.V是碰撞前的状态.当两个粒子发生碰撞时,动量从P和p'变为k和k’, 其状态变为vy=1.an-1an-1a4+1a4+1)该碰撞过程相当于,动量为 p和p'的粒子各减少了一个,动量为k和k的粒子各增加了一个.用b表示湮灭 算符,用b表示产生算符,上述的碰撞过程可写成(Vbbw)·粒子碰撞 引起状态变化,几率正比于上述短阵元的平方,即Nbv)·对 于Boe粒子,有b…an)=n…an-1),l…n)=Vl4 +1.a4+1.), 于是 H2vbw》=a+1)a+ (23) 此式说明,当碰撞引起状态变化时,变化几率W不但正比于碰撞前的粒子数 anan,而且正比于碰撞后的粒子数(a+1)(a-+1).这就是说,如果在某动量k上 的粒子数比其他动量上的粒子数多,则碰到该动量上的几率就大于碰到其它动量 上的几率,于是,在该动量上会聚集愈来愈多的粒子,这就是全同粒子不可分辨 性(量子效应)所带来的聚集倾向 上面只考虑了量子效应而没有考虑温度.考虑到温度后,由于热运动,在高 温下,粒子可进入能量高的状态,基态上的粒子不多.温度降低时,愈来愈多的 粒子进入低能量状态,降到某一温度η,零动量上就发生了凝结
10 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 当粒子相互碰撞时，动量为 p 和 p′的两个粒子，在碰撞后，动量变为k 和k′， 见图 2.1．如果，在碰撞前，动量为 p 和 p′上的粒子数分别为 p a 和ap′，经过碰 撞，体系的状态要变化． 对于经典粒子，碰撞所引起的状态变化几率WC 正比于碰撞前的粒子数 p a 和 ap′，与碰撞后的粒子数无关，即 WC ∝ apap′． (2.2) 对于量子情况，如前所述，由于全同粒子不可能分辨，对粒子不能加以编号， 一种状态就是一种分布，可写为ψ i = KapKap′Kak Kak′ K ，它表示在动量为 p ， p′，k 和k′上的粒子数分别为 p a ，ap′，ak 和 ak′ 个，其它动量上的粒子数未明 显写出．ψ i是碰撞前的状态．当两个粒子发生碰撞时，动量从 p 和 p′变为k 和k′， 其状态变为ψ f = Kap −1Kap′ −1Kak +1Kak′ +1K ．该碰撞过程相当于，动量为 p 和 p′的粒子各减少了一个，动量为k 和k′的粒子各增加了一个．用b ˆ 表示湮灭 算符，用 + b ˆ 表示产生算符，上述的碰撞过程可写成 f i ψ bk bk bpbp′ψ + ′ ˆ+ ˆ ˆ ˆ ．粒子碰撞 引起状态变化，几率WQ正比于上述矩阵元的平方，即 2 ˆ ˆ ˆ ˆ WQ ψ f bk bk bpbp′ ψ i + ′ + ∝ ．对 于 Bose 粒子，有b ˆ p KapK = ap Kap −1K ，b ˆ k + KapK = ak +1 Kak +1K ， 于是 ( )( ) 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ∝ ′ = ′ + ′ + + ′ + WQ ψ f bk bk bpbp ψ i apap ak ak ． (2.3) 此式说明，当碰撞引起状态变化时，变化几率WQ 不但正比于碰撞前的粒子数 apap′，而且正比于碰撞后的粒子数( +1)( +1) ak ak′ ．这就是说，如果在某动量k 上 的粒子数比其他动量上的粒子数多，则碰到该动量上的几率就大于碰到其它动量 上的几率，于是，在该动量上会聚集愈来愈多的粒子，这就是全同粒子不可分辨 性（量子效应）所带来的聚集倾向． 上面只考虑了量子效应而没有考虑温度．考虑到温度后，由于热运动，在高 温下，粒子可进入能量高的状态，基态上的粒子不多．温度降低时，愈来愈多的 粒子进入低能量状态，降到某一温度Tc ，零动量上就发生了凝结．
