教案 分子热运动和统计规律性 在经典物理中,单个粒子的运动遵守牛顿力学的规律.若已知某个粒子在初 始时刻的位置和速度后,求解牛顿方程可预言该粒子在任何时间的位置. 宏观体系是由大量原子和分子组成的.例如,在标准状况下的气体,每立方 厘米有269×109个分子.物体的宏观性质(压强、比热和相变等)是大量分子 运动的平均结果.如果想根据牛顿力学来确定气体的宏观性质,就要求解1019 个相互碰撞的分子的牛顿方程.显然,这在实际上是不能办到的,而且也没有必 要,因为大量粒子组成的体系出现了新的规律性一一统计规律性.根据这种新的 规律性,就能确定宏观物体的性质.显示统计规律性的一个例子是气体分子运动 的速率分布 设想在一个容器里装有气体,N个分子在不停地运动并相互碰撞,同时与 器壁碰撞,见图1.在每一瞬间,毎个分子都有一定的速度ν.由于碰撞非常频 繁,各个分子的速度都在不断变化着,可谓是瞬息万变 在N个分子中,有的跑的快,有 的跑的慢.为了对N个分子的运动情 况有整体的定量了解,可以按速率 y=来作统计统计时,不关心个别 分子的速率ν是如何随时间而变化的 而是要知道在某一瞬时,按速率来统计 分子数目的分布n=n(v)(见图2):将 速率γ分成许多等间隔的区间 [v,v+△v],区间的宽度为△v.各个分 图1分子运动 子按其速率大小而落在某个速率区间 中.记下各个区间中的分子数目,就得 到分子按速率的分布n(ν).由于分子碰撞,这种分布m(V)也随时间而变化着 为了直观地看出此种分布及其随时间的变化,可以用刚球模型来进行演示 将分子用刚球来代替.剛球之间的碰撞是完全弹性的,刚球在器壁上的碰撞也是 弹性的,动量和动能都是守恒的.在一个边长为l的正方形容器内,有N个刚 球.为了减少计算工作量,采用的是二维运动模型,刚球只在平面上运动
1 图 1 分子运动 教案 分子热运动和统计规律性 在经典物理中，单个粒子的运动遵守牛顿力学的规律．若已知某个粒子在初 始时刻的位置和速度后，求解牛顿方程可预言该粒子在任何时间的位置． 宏观体系是由大量原子和分子组成的．例如，在标准状况下的气体，每立方 厘米有 2.69×1019 个分子．物体的宏观性质（压强、比热和相变等）是大量分子 运动的平均结果．如果想根据牛顿力学来确定气体的宏观性质，就要求解 1019 个相互碰撞的分子的牛顿方程．显然，这在实际上是不能办到的，而且也没有必 要，因为大量粒子组成的体系出现了新的规律性——统计规律性．根据这种新的 规律性，就能确定宏观物体的性质．显示统计规律性的一个例子是气体分子运动 的速率分布． 设想在一个容器里装有气体， N 个分子在不停地运动并相互碰撞，同时与 器壁碰撞，见图 1．在每一瞬间，每个分子都有一定的速度 i v ．由于碰撞非常频 繁，各个分子的速度都在不断变化着，可谓是瞬息万变． 在 N 个分子中，有的跑的快，有 的跑的慢．为了对 N 个分子的运动情 况有整体的定量了解，可以按速率 v = v 来作统计．统计时，不关心个别 分子的速率v是如何随时间而变化的， 而是要知道在某一瞬时，按速率来统计 分子数目的分布n nv = ( )（见图 2）：将 速 率 v 分成许多等间隔的区间， [, ] vv v + ∆ ，区间的宽度为∆v ．各个分 子按其速率大小而落在某个速率区间 中．记下各个区间中的分子数目，就得 到分子按速率的分布n(v) ．由于分子碰撞，这种分布n(v) 也随时间而变化着． 为了直观地看出此种分布及其随时间的变化，可以用刚球模型来进行演示， 将分子用刚球来代替．刚球之间的碰撞是完全弹性的，刚球在器壁上的碰撞也是 弹性的，动量和动能都是守恒的．在一个边长为l 的正方形容器内，有 N 个刚 球．为了减少计算工作量，采用的是二维运动模型，刚球只在平面上运动．
分子热运动和统计规律性 n(v) n=200 △v 图2分子数目按速率的分布 复旦大学物理系钟万蘅教授领导的“复旦大学CAI研发中心”研制成了一 套软件,可模拟各种分子运动论的演变过程,包括平衡态和非平衡过程,受到 各国同行专家的称赞,达到了国际先进水平 利用此软件可以形象地看出统计规律性:当粒子数N很少时,按速率的分 布n(v)随时间很快的变化,显得“杂乱无章”,没有稳定的分布,但是,当N很 大时,n(ν)随时间变化很小,并且,当N增加时,n(ν)的变动减小,形成了稳 定分布,出现了统计规律性.下面来看详细过程. 1.少数粒子的情况 粒子数目很少时,例如N=5,速率分布n(v)随时变化,如图3所示,其中 的三个分图表示三个不同瞬时4、L2和1的分布.在大部分时间内,某些区间内 只有一个粒子,其它区间内没有粒子(见图3中的前两个分图).偶尔在某个区 间中出现两个粒子(图3中的第三个图)各个瞬时的分布,差别很大,没有稳 定的分布 2.粒子数目增多 当粒子数N增加时,每个速率间隔Δν中的粒子数目可以很多.此时,速率 分布m()不再像图3那样的断断续续,而是连成一片,有高有低(见图4)总 体来看,在分布的条形折线上,中间高两边低,分布n(ν)随着时间在变化,但变 化总是围绕着图中的一条稳定曲线在上下起伏,图4是当N=500时的分布,其 中的两个分图表示两个不同的时刻,两者不同.图中有一条稳定的曲线,不同时
2 分子热运动和统计规律性 图 2 分子数目按速率的分布 复旦大学物理系钟万蘅教授领导的“复旦大学 CAI 研发中心”研制成了一 套软件# ，可模拟各种分子运动论的演变过程，包括平衡态和非平衡过程，受到 各国同行专家的称赞，达到了国际先进水平． 利用此软件可以形象地看出统计规律性：当粒子数 N 很少时，按速率的分 布n(v) 随时间很快的变化，显得“杂乱无章”，没有稳定的分布．但是，当 N 很 大时，n(v) 随时间变化很小．并且，当 N 增加时，n(v) 的变动减小，形成了稳 定分布，出现了统计规律性．下面来看详细过程． 1．少数粒子的情况 粒子数目很少时，例如 N = 5，速率分布n(v) 随时变化，如图 3 所示，其中 的三个分图表示三个不同瞬时 1 t 、 2t 和 3t 的分布．在大部分时间内，某些区间内 只有一个粒子，其它区间内没有粒子（见图 3 中的前两个分图）．偶尔在某个区 间中出现两个粒子（图 3 中的第三个图）．各个瞬时的分布，差别很大，没有稳 定的分布． 2．粒子数目增多 当粒子数 N 增加时，每个速率间隔∆v 中的粒子数目可以很多．此时，速率 分布n v( ) 不再像图 3 那样的断断续续，而是连成一片，有高有低（见图 4）．总 体来看，在分布的条形折线上，中间高两边低，分布n v( ) 随着时间在变化，但变 化总是围绕着图中的一条稳定曲线在上下起伏．图 4 是当 N = 500时的分布，其 中的两个分图表示两个不同的时刻，两者不同．图中有一条稳定的曲线，不同时
复旦大学物理系,孙鑫,2004.3 刻的条形折线都在此稳定曲线附近 () 0051152 () 005 152 n(v) n=5 1522533.5 图3五个粒子的速率分布
复旦大学物理系，孙鑫，2004. 3 3 刻的条形折线都在此稳定曲线附近． 图 3 五个粒子的速率分布
分子热运动和统计规律性 F(v)n 02 F(v)n n=500 图4500个粒子的速率分布.横坐标是速率,它以最可几速率vo作单位 如果N增加到2000,如图5所示,条形折线更靠近稳定的曲线,m(v)虽然 仍在变化着,但起伏的幅度变小了 可以想象,当N很大很大时,像在气体中那样,N-103,速率分布n(v)将 趋向此稳定曲线,起伏非常小,称为 Maxwell分布 还可以作另一种演示,将有限个粒子(例如N=500)的分布对时间取平均, 即将各个瞬时的分布相加再除以取样的次数.在此过程中,正负起伏相互抵消, 条形折线就趋向于 Maxwell分布.图6表示N=500时的分布按时间的平均值, 它趋向 Maxwell分布 3. Maxwell速率分布 上面从计算机模拟实验中看到,当粒子数目不断增大时,速率分布n(ν的起
4 分子热运动和统计规律性 图 4 500 个粒子的速率分布．横坐标是速率，它以最可几速率v 0作单位． 如果 N 增加到 2000，如图 5 所示，条形折线更靠近稳定的曲线，n(v) 虽然 仍在变化着，但起伏的幅度变小了． 可以想象，当 N 很大很大时，像在气体中那样， 19 N ∼10 ，速率分布n(v) 将 趋向此稳定曲线，起伏非常小，称为 Maxwell 分布． 还可以作另一种演示，将有限个粒子（例如 N = 500）的分布对时间取平均， 即将各个瞬时的分布相加再除以取样的次数．在此过程中，正负起伏相互抵消， 条形折线就趋向于 Maxwell 分布．图 6 表示 N = 500时的分布按时间的平均值， 它趋向 Maxwell 分布． 3．Maxwell 速率分布 上面从计算机模拟实验中看到，当粒子数目不断增大时，速率分布n(v) 的起
复旦大学物理系,孙鑫,2004.3 伏愈来愈小,趋向于一种稳定的分布,呈现了统计规律性 n=2000 06 000 02 0051152253354 000 n=2000 05 05 5 图52000个粒子的速率分布 对于三维体系,这种稳定分布的定量表达式是 ()=4xn(m)n2 (1.1) 其中,n是粒子的密度,m是粒子的质量,k是 Boltzmann常数,T是温度(绝 对温标) (1.1)式就称为 Maxwel分布 这里,出现了一个问题:对于不大不小的体系(N-103),如何理解力学规律性与统计规 律之间的关系?
复旦大学物理系，孙鑫，2004. 3 5 伏愈来愈小，趋向于一种稳定的分布，呈现了统计规律性* ． 图 5 2000 个粒子的速率分布 对于三维体系，这种稳定分布的定量表达式是 2 3 2 2 2 () 4 2 mv m kT f v n ve kT π π − = ， (1.1) 其中，n 是粒子的密度，m 是粒子的质量，k 是 Boltzmann 常数，T 是温度（绝 对温标）． (1.1)式就称为 Maxwell 分布． * 这里，出现了一个问题：对于不大不小的体系（ 3 N ∼ 10 ），如何理解力学规律性与统计规 律之间的关系？
分子热运动和统计规律性 图6速率分布的时间平均值 有了统计分布,就可以通过计算平均值来求得各种宏观物理量,不用知道各 个分子的运动细节了 前面的演示只是从计算机模拟看到的现象,我们自然会提出一个问题:此现 象背后的物理原理是什么?如何从基本原理推导出 Maxwell分布? 这是统计物理的基础,也是本门课程所要讲解的中心内容. 对于 Maxwel分布(1.1)式,要作两点说明 (1)应该提醒,公式(1.1)是三维情况,而前面的计算机模拟是二维情况,其 分布不同于三维情况.二维的 Maxwel)布是 f(v)=2rn (1.2) 2TkT f(v)/6 三维 图7二维和三维 Maxwell分布(以v。=√kT/m和后=m/'n为单位)
6 分子热运动和统计规律性 图 6 速率分布的时间平均值 有了统计分布，就可以通过计算平均值来求得各种宏观物理量，不用知道各 个分子的运动细节了． 前面的演示只是从计算机模拟看到的现象，我们自然会提出一个问题：此现 象背后的物理原理是什么？如何从基本原理推导出 Maxwell 分布？ 这是统计物理的基础，也是本门课程所要讲解的中心内容． 对于 Maxwell 分布(1.1)式，要作两点说明： (1) 应该提醒，公式(1.1)是三维情况，而前面的计算机模拟是二维情况，其 分布不同于三维情况．二维的 Maxwell 分布是 2 2 () 2 2 mv m kT f v n ve kT π π − = ． (1.2) 图 7 二维和三维 Maxwell 分布（以 0 v kT m = 和 0 0 f = n v 为单位）
复旦大学物理系,孙鑫,2004.3 图7中的两条曲线分别表示二维和三维速率分布,这两者有一点显著的差 别:在低速范围内(曲线的左端),二维是直线上升(-ν),三维是拋物线上升 (~y2).图6中的分布,在低速范围内是线性上升而不是抛物线上升,这正是 二维分布的特征,这也证实了本演示的正确性 (2)还有一点需要说明.在演示中,粒子的总能量E=∑加m2是守恒的.统 计物理可以证明,每个粒子的平均动能为 3k7/2(二维) E kT(三维) 因此,总能量E与温度之间的关系是 E=Na= ∫3NkT/2(二维) NT(三维) (14) 图4一图6对应的是氦原子在273K的速率分布,此时的最可几速率为 vo=1.07×103ms #该中心设计了一个《气体分子运动理论人机交互程序》,使成千个粒子按牛顿力学规律相碰 撞,进行能量和动量交换,从而较好地解决了二维气体分子无规热运动的模拟问题.该程序 不但可以用来定性地展示气体分子的无规热运动状态,而且还可以实时地测量系统内每个粒 子的空间位置、速率和速度分量,实时地求出粒子按空间、速度和自由程等的分布(曲线), 得到能量和位移平方等物理量的C值,与理论值和实验值相比较
复旦大学物理系，孙鑫，2004. 3 7 图 7 中的两条曲线分别表示二维和三维速率分布，这两者有一点显著的差 别：在低速范围内（曲线的左端），二维是直线上升（∼ v ），三维是抛物线上升 （ 2 ∼ v ）．图 6 中的分布，在低速范围内是线性上升而不是抛物线上升，这正是 二维分布的特征，这也证实了本演示的正确性． (2) 还有一点需要说明．在演示中，粒子的总能量 2 1 1 2 N i i E mv = =∑ 是守恒的．统 计物理可以证明，每个粒子的平均动能为 3 2 kT kT ε = （二维） （三维） , (1.3) 因此，总能量 E 与温度之间的关系是 3 2 NkT E N NkT ε = = （二维） （三维） ． (1.4) 图 4—图 6 对应的是氦原子在 273 K 的速率分布，此时的最可几速率为 3 1 0 v 1.07 10 m s− =× ⋅ ． # 该中心设计了一个《气体分子运动理论人机交互程序》，使成千个粒子按牛顿力学规律相碰 撞，进行能量和动量交换，从而较好地解决了二维气体分子无规热运动的模拟问题．该程序 不但可以用来定性地展示气体分子的无规热运动状态，而且还可以实时地测量系统内每个粒 子的空间位置、速率和速度分量，实时地求出粒子按空间、速度和自由程等的分布（曲线）， 得到能量和位移平方等物理量的 C 值，与理论值和实验值相比较．