教案讨论 分子热运动和统计分布 在经典物理中,单个粒子的运动遵守牛顿力学的规律.若已知某个粒子在初 始时刻的位置和速度后,求解牛顿方程可预言该粒子在任何时间的位置 宏观体系是由大量原子和分子组成的.例如,在标准状况下的气体,每立方 厘米有269×10个分子.物体的宏观性质(压强、比热和相变等)是大量分子 运动的平均结果.如果想根据牛顿力学来确定气体的宏观性质,就要求解~10-9个 相互碰撞的分子的牛顿方程.显然,这在实际上是不能办到的,而且也没有必要, 因为大量粒子组成的体系出现了新的规律性——统计规律性.根据这种新的规律 性,就能确定宏观物体的性质.显示统计规律性的一个例子是气体分子运动的速 率分布. 设想在一个容器里装有气体,N个分子在不 停地运动并相互碰撞,同时与器壁碰撞,见图1.在 每一瞬间,每个分子都有一定的速度ν.由于碰 撞非常频繁,各个分子的速度都在不断变化着 可谓是瞬息万变 在N个分子中,有的跑的快,有的跑的慢.为 了对N个分子的运动情况有整体的定量了解,可 以按速率=p来作统计.统计时,不关心个别分 图1分子运动 子的速率ν是如何随时间而变化的,而是要知道 在某一瞬时,按速率来统计分子数目mo 的分布n=m(v)(见图2):将速率v分 成许多等间隔的区间,[v,+Av],区 间的宽度为Aν.各个分子按其速率大 小而落在某个速率区间中.记下各个 区间中的分子数目,就得到分子按速 率的分布n(v).由于分子碰撞,这种 图2分子数目按速率的分布 分布m(v)也随时间而变化着 为了直观地看出此种分布及其随时间的变化,可以用刚球模型来进行演示
1 图 1 分子运动 图 2 分子数目按速率的分布 教案讨论一 分子热运动和统计分布 在经典物理中，单个粒子的运动遵守牛顿力学的规律．若已知某个粒子在初 始时刻的位置和速度后，求解牛顿方程可预言该粒子在任何时间的位置． 宏观体系是由大量原子和分子组成的．例如，在标准状况下的气体，每立方 厘米有 19 2.69 10 × 个分子．物体的宏观性质（压强、比热和相变等）是大量分子 运动的平均结果．如果想根据牛顿力学来确定气体的宏观性质，就要求解 19 ∼ 10 个 相互碰撞的分子的牛顿方程．显然，这在实际上是不能办到的，而且也没有必要， 因为大量粒子组成的体系出现了新的规律性——统计规律性．根据这种新的规律 性，就能确定宏观物体的性质．显示统计规律性的一个例子是气体分子运动的速 率分布． 设想在一个容器里装有气体， N 个分子在不 停地运动并相互碰撞，同时与器壁碰撞，见图1．在 每一瞬间，每个分子都有一定的速度 i v ．由于碰 撞非常频繁，各个分子的速度都在不断变化着， 可谓是瞬息万变． 在 N 个分子中，有的跑的快，有的跑的慢．为 了对 N 个分子的运动情况有整体的定量了解，可 以按速率v = v 来作统计．统计时，不关心个别分 子的速率v 是如何随时间而变化的，而是要知道 在某一瞬时，按速率来统计分子数目 的分布n nv = ( )（见图 2）：将速率v 分 成许多等间隔的区间，[, ] vv v + ∆ ，区 间的宽度为∆v ．各个分子按其速率大 小而落在某个速率区间中．记下各个 区间中的分子数目，就得到分子按速 率的分布n(v) ．由于分子碰撞，这种 分布n(v) 也随时间而变化着． 为了直观地看出此种分布及其随时间的变化，可以用刚球模型来进行演示
将分子用刚球来代替.刚球之间的碰撞是完全弹性的,刚球在器壁上的碰撞也是 弹性的,动量和动能都是守恒的.在一个边长为l的正方形容器内,有N个刚 球.为了减少计算工作量,采用的是二维运动模型,刚球只在平面上运动 复旦大学物理系钟万蘅教授领导的“复旦大学物理系CAI研发中心”研制 成了一套软件,可模拟各种分子运动论的演变过程,包括平衡态和非平衡过程, 受到各国同行专家的称赞,达到了国际先进水平 利用此软件可以形象地看出统计规律性:当粒子数N很少时,按速率的分 布n(v)随时间很快的变化,显得“杂乱无章”,没有稳定的分布.但是,当N很 大时,n(v)随时间变化很小.并且,当N增加时,n(n)的变动减小,形成了稳 定分布,出现了统计规律性.下面来看详细过程 1.少数粒子的情况 图35个粒子的速率分布 粒子数目很少时,例如N=5, 速率分布n(v)随时变化,如图3所 其中的三个分图表示三个不同瞬 时1、t2和t3的分布.在大部分时间 内,某些区间内只有一个粒子,其它区间内没有粒子(见图3中的前两个分图).偶 尔在某个区间中出现两个粒子(图3中的第三个图).各个瞬时的分布,差别很 大,没有稳定的分布 2.粒子数目增多 当粒子数N增加时,每个速率间隔Av中的粒子数目可以很多.此时,速率 分布n()不再像图3那样的断断续续,而是连成一片,有高有低(见图4).总
2 教案讨论一 将分子用刚球来代替．刚球之间的碰撞是完全弹性的，刚球在器壁上的碰撞也是 弹性的，动量和动能都是守恒的．在一个边长为l 的正方形容器内，有 N 个刚 球．为了减少计算工作量，采用的是二维运动模型，刚球只在平面上运动． 复旦大学物理系钟万蘅教授领导的“复旦大学物理系 CAI 研发中心”研制 成了一套软件# ，可模拟各种分子运动论的演变过程，包括平衡态和非平衡过程， 受到各国同行专家的称赞，达到了国际先进水平． 利用此软件可以形象地看出统计规律性：当粒子数 N 很少时，按速率的分 布n(v) 随时间很快的变化，显得“杂乱无章”，没有稳定的分布．但是，当 N 很 大时，n(v) 随时间变化很小．并且，当 N 增加时，n(v) 的变动减小，形成了稳 定分布，出现了统计规律性．下面来看详细过程． 1．少数粒子的情况 图 3 5 个粒子的速率分布 粒子数目很少时，例如 N = 5， 速率分布n(v) 随时变化，如图 3 所 示，其中的三个分图表示三个不同瞬 时 1 t 、 2t 和 3t 的分布．在大部分时间 内，某些区间内只有一个粒子，其它区间内没有粒子（见图 3 中的前两个分图）．偶 尔在某个区间中出现两个粒子（图 3 中的第三个图）．各个瞬时的分布，差别很 大，没有稳定的分布． 2．粒子数目增多 当粒子数 N 增加时，每个速率间隔∆v 中的粒子数目可以很多．此时，速率 分布n v( ) 不再像图 3 那样的断断续续，而是连成一片，有高有低（见图 4）．总
分子热运动和统计分布(复旦大学物理系,孙鑫,2004年4月) 图4500个粒子的速率分布.横坐标是速率,它以最可几速率v作单位 体来看,在分布的条形折线上,中间高两边低,分布n(v)随着时间在变化,但变 化总是围绕着图中的一条稳定曲线在上下起伏.图4是当N=500时的分布,其 中的两个分图表示两个不同的时刻,两者不同.图中有一条稳定的曲线,不同时 刻的条形折线都在此稳定曲线附近 F(v)n n=2000 n=2000 图52000个粒子的速率分布 如果N增加到2000,如图5所示,条形折线更靠近稳定的曲线,m(v)虽然 仍在变化着,但起伏的幅度变小了 可以想象,当N很大很大时,像在气体中那样,N-10°,速率分布m()将 趋向此稳定曲线,起伏非常小,称为 Maxwell分布 还可以作另一种演示,将有限个粒子(例如N=500)的分布对时间取平均, 即将各个瞬时的分布相加再除以取样的次数.在此过程中,正负起伏相互抵消 条形折线就趋向于 Maxwell分布.图6表示N=500时的分布按时间的平均值, 它趋向 Maxwell分布.当N有限时,即使t→∞也不会完全达到 Maxwell分布.与
分子热运动和统计分布（复旦大学物理系，孙鑫，2004 年 4 月） 3 体来看，在分布的条形折线上，中间高两边低，分布n v( ) 随着时间在变化，但变 化总是围绕着图中的一条稳定曲线在上下起伏．图 4 是当 N = 500时的分布，其 中的两个分图表示两个不同的时刻，两者不同．图中有一条稳定的曲线，不同时 刻的条形折线都在此稳定曲线附近． 如果 N 增加到 2000，如图 5 所示，条形折线更靠近稳定的曲线，n(v) 虽然 仍在变化着，但起伏的幅度变小了． 可以想象，当 N 很大很大时，像在气体中那样， 19 N ∼10 ，速率分布n(v) 将 趋向此稳定曲线，起伏非常小，称为 Maxwell 分布． 还可以作另一种演示，将有限个粒子（例如 N = 500）的分布对时间取平均， 即将各个瞬时的分布相加再除以取样的次数．在此过程中，正负起伏相互抵消， 条形折线就趋向于 Maxwell 分布．图 6 表示 N = 500时的分布按时间的平均值， 它趋向 Maxwell 分布．当 N 有限时，即使t → ∞ 也不会完全达到 Maxwell 分布．与 图 4 500 个粒子的速率分布．横坐标是速率，它以最可几速率 0 v 作单位． 图 5 2000 个粒子的速率分布
理想 Maxwell分布的相对均方偏 差σ随t趋向非零值σ。, σ~/√N.对系综取平均时, J/N.时间平均和系综平均 的结果相同 3. Maxwell速率分布 上面从计算机模拟实验中看 图6速率分布的时间平均值 到,当粒子数目不断增大时,速率 分布m(v)的起伏愈来愈小,趋向于一种稳定的分布,呈现了统计规律性 对于三维体系,这种稳定分布的定量表达式是 f(v)=4Tn (1.1) 其中,n是粒子的密度,m是粒子的质量,k是 Boltzmann常数,T是温度(绝 对温标). (1.1)式就称为 Maxwel分布 有了统计分布,就可以通过计算平均值来求得各种宏观物理量,不用知道各 个分子的运动细节了 前面的演示只是从计算机模拟看到的现象.我们自然会提出一个问题:此现 象背后的物理原理是什么?如 何从基本原理推导出 Maxwell f(v)/fo 分布? 这是统计物理的基础,也 是该课程所要讲解的中心内 容 对于 Maxwell分布(1.1)式 要作两点说明 (1)应该提醒,公式(1.1)是 三维情况,而前面的计算机模 拟是二维情况,其分布不同于 图7二维和三维 Maxwel分布(以v。=√/m和 三维情况.二维的 Maxwell分 f6=n/v为单位) 这里,出现了一个问题:剛球碰撞遵循力学规律, Maxwell z分布反映统计规律;该模拟从 刚球碰撞得到 Maxwell分布,意味着从力学规律导岀了统计规律,这可能吗?如何理解力学 规律性与统计规律之间的关系?“教案讨论二”将对这一问题作分析说明
4 教案讨论一 图 6 速率分布的时间平均值 图 7 二维和三维 Maxwell 分布（以 0 v kT m = 和 0 0 f = n v 为单位） 理想 Maxwell 分布的相对均方偏 差 σ 随 t 趋向非零值 σ 0 ， 0 σ ∼ 1 N ．对系综取平均时， 0 σ ∼ 1 N ．时间平均和系综平均 的结果相同． 3．Maxwell 速率分布 上面从计算机模拟实验中看 到，当粒子数目不断增大时，速率 分布n(v) 的起伏愈来愈小，趋向于一种稳定的分布，呈现了统计规律性* ． 对于三维体系，这种稳定分布的定量表达式是 2 3 2 2 2 () 4 2 mv m kT f v n ve kT π π − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， (1.1) 其中，n 是粒子的密度，m 是粒子的质量，k 是 Boltzmann 常数，T 是温度（绝 对温标）． (1.1)式就称为 Maxwell 分布． 有了统计分布，就可以通过计算平均值来求得各种宏观物理量，不用知道各 个分子的运动细节了． 前面的演示只是从计算机模拟看到的现象．我们自然会提出一个问题：此现 象背后的物理原理是什么？如 何从基本原理推导出 Maxwell 分布？ 这是统计物理的基础，也 是该课程所要讲解的中心内 容． 对于Maxwell分布(1.1)式， 要作两点说明： (1) 应该提醒，公式(1.1)是 三维情况，而前面的计算机模 拟是二维情况，其分布不同于 三维情况．二维的 Maxwell 分 * 这里，出现了一个问题：刚球碰撞遵循力学规律，Maxwell 分布反映统计规律；该模拟从 刚球碰撞得到 Maxwell 分布，意味着从力学规律导出了统计规律，这可能吗？如何理解力学 规律性与统计规律之间的关系？“教案讨论二”将对这一问题作分析说明．
统计分布(复旦大学物理系,孙鑫,2004年4月) 布是 f(v)=2rn (12) 2TkT 图7中的两条曲线分别表示二维和三维速率分布,这两者有一点显著的差 别:在低速范围内(曲线的左端),二维是直线上升(~),三维是抛物线上升 (~y2).图6中的分布,在低速范围内是线性上升而不是抛物线上升,这正是 二维分布的特征,这也证实了本演示的正确性 (2)还有一点需要说明.在演示中,粒子的总能量E=∑m2是守恒的.统 计物理可以证明,每个粒子的平均动能为 「3kT/2(二维) E (三维) (1.3) 因此,总能量E与温度之间的关系是 E=Na= ∫3NT/2(二维) NkT(三维) (14) 图4一图6对应的是氦原子在T=273K的速率分布,此时的最可几速率为 0=107×103ms 该中心设计了一个《气体分子运动理论人机交互程序》,使成千个粒子按牛顿力学规律相 碰撞,进行能量和动量交换,从而较妤地解决了二维气体分子无规热运动的模拟问题.该程 序不但可以用来定性地展示气体分子的无规热运动状态,而且还可以实时地测量系统内每个 粒子的空间位置、速率和速度分量,实时地求出粒子按空间、速度和自由程等的分布(曲线) 得到能量和位移平方等物理量的C值,与理论值和实验值相比较
分子热运动和统计分布（复旦大学物理系，孙鑫，2004 年 4 月） 5 布是 2 2 () 2 2 mv m kT f v n ve kT π π − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ． (1.2) 图 7 中的两条曲线分别表示二维和三维速率分布，这两者有一点显著的差 别：在低速范围内（曲线的左端），二维是直线上升（∼ v ），三维是抛物线上升 （ 2 ∼ v ）．图 6 中的分布，在低速范围内是线性上升而不是抛物线上升，这正是 二维分布的特征，这也证实了本演示的正确性． (2) 还有一点需要说明．在演示中，粒子的总能量 2 1 1 2 N i i E mv = = ∑ 是守恒的．统 计物理可以证明，每个粒子的平均动能为 3 2 kT kT ε ⎧ = ⎨ ⎩ （二维） （三维） , (1.3) 因此，总能量 E 与温度之间的关系是 3 2 NkT E N NkT ε ⎧ = = ⎨ ⎩ （二维） （三维） ． (1.4) 图 4—图 6 对应的是氦原子在T = 273 K 的速率分布，此时的最可几速率为 3 1 0 v 1.07 10 m s− =× ⋅ ． # 该中心设计了一个《气体分子运动理论人机交互程序》，使成千个粒子按牛顿力学规律相 碰撞，进行能量和动量交换，从而较好地解决了二维气体分子无规热运动的模拟问题．该程 序不但可以用来定性地展示气体分子的无规热运动状态，而且还可以实时地测量系统内每个 粒子的空间位置、速率和速度分量，实时地求出粒子按空间、速度和自由程等的分布（曲线）， 得到能量和位移平方等物理量的 C 值，与理论值和实验值相比较．