教案讨论二 力学规律和统计规律的关系 能否由力学规律推导出统计规律? 两种观点 1.系综论:统计规律是另一层次的新规律,不能由力学规律导出 2.各态历经论:可用力学规律为统计规律提供基础.试图阐明在什么条件下可 由力学规律导出统计规律 二.系综论 微观上,每个分子运动都遵从力学规律;但宏观体系包含极大数量的分子, 无法也没有必要知道所有分子的运动细节.量变发生质变,大量粒子的体系出现 了新的规律——统计规律,其基本假设是:在一定的宏观条件下(对于孤立体系, 总能量E、体积V和粒子数N确定),各种可能的微观状态都能以相等的几率出 现(平衡态).这是统计物理的出发点,不必追问缘由 对于理想气体,只有碰撞交换能量,没 (=12…,N)有相互作用.此时,在描写微观状态的相空 间中,可将动量和坐标分离开来.能量守恒 要求微观状态必定出现在3N维动量空间中 的等能面S上,且S是球面 对于平衡态,等能面S上各点出现的几 率相等.由此,可用计算平均值的方法求得 各种宏观物理量 各态历经( Ergodic)”论 (i=1,2,…,N 1.定义 分子运动时,体系的微观状态从某一初 S 始点出发,在S面上画出一条轨道.如果此 轨道能无限接近S面上的任何一点(粗略一 点讲,此轨道可到达S面上的任何一点,亦 即各种微观状态都能到达),这就称为“各态p 历经” 考虑到不可避免的外界扰动,体系能量限制在E与E+△E之间
1 ( )i x p ( )i y p ( )i z p E E E + ∆ (i N =1, 2, , … ) S ( )i x p ( )i y p ( )i z p (i N =1, 2, , … ) S 教案讨论二 力学规律和统计规律的关系 ——能否由力学规律推导出统计规律？ 一． 两种观点 1．系综论：统计规律是另一层次的新规律，不能由力学规律导出． 2．各态历经论：可用力学规律为统计规律提供基础．试图阐明在什么条件下可 由力学规律导出统计规律． 二． 系综论[1] 微观上，每个分子运动都遵从力学规律；但宏观体系包含极大数量的分子， 无法也没有必要知道所有分子的运动细节．量变发生质变，大量粒子的体系出现 了新的规律——统计规律，其基本假设是：在一定的宏观条件下（对于孤立体系， 总能量 E * 、体积V 和粒子数 N 确定），各种可能的微观状态都能以相等的几率出 现（平衡态）．这是统计物理的出发点，不必追问缘由． 对于理想气体，只有碰撞交换能量，没 有相互作用．此时，在描写微观状态的相空 间中，可将动量和坐标分离开来．能量守恒 要求微观状态必定出现在 3N 维动量空间中 的等能面 S 上，且 S 是球面． 对于平衡态，等能面 S 上各点出现的几 率相等．由此，可用计算平均值的方法求得 各种宏观物理量． 三． “各态历经（Ergodic）”论[2] 1．定义： 分子运动时，体系的微观状态从某一初 始点出发，在 S 面上画出一条轨道．如果此 轨道能无限接近 S 面上的任何一点（粗略一 点讲，此轨道可到达 S 面上的任何一点，亦 即各种微观状态都能到达），这就称为“各态 历经”． * 考虑到不可避免的外界扰动，体系能量限制在 E 与 E E + ∆ 之间．
教案讨论二 这里除去了一系列钻进“死胡同”的点.由 于这些点的测度为零,对计算平均值无贡献.例 如,所有分子都沿图中菱形边运动,相互碰撞 也离不开菱形. 有不少学者举出类似于上述的“死胡同” 作为反例,说明“各态历经”是不能实现的.这 是不妥的,因为该理论已指出,“各态历经”并 不包括这些特殊点,由于它们的测度为零,排 除它们不会改变能量曲面上的平均值 下面从几何上对“各态历经”打个比喻 个质点沿圆环等速率运动,角速度为 o.同时,该圆环绕轴线OO匀速转动,角速 度为g2.两者合成质点在球面上的运动,画出 条轨道.如果a与Ω之比是有理数,则此轨 道在球面上闭合,不能各“态”历经.如果 与Ω之比是无理数,则此轨道可无限接近球面 上的任何一点,但不能保证可以到达每一点 2.平均值定理 O 如果某体系是各态历经的,则系综平均值 等于沿轨道的时间平均值: )系=mrf(5()d, 其中ξ表示体系在相空间中代表点的全部坐标.因此,只要“各态历经”成立, 系综论的假设就有了力学基础.在此意义上,可由力学规律导出系综理论.有一 学派就认为“各态历经”是统计物理的基本假定 这样,统计物理的基本问题变为“各态历经”能否实现 3.实现“各态历经”的条件 N个粒子的系统有3N个自由度, Hamilton方程是6N个联立的微分方程 组.如果是完全可积的,则有6N个运动常数,其中的一个是总能量E(能量守 恒): (P, q ) =E (2.2) 通俗一点讲,某体系可以各态历经的条件是:除能量积分外,不存在其他的 运动积分.这是容易理解的.如果还存在另一积分
2 教案讨论二 ω Ω O O′ 这里除去了一系列钻进“死胡同”的点．由 于这些点的测度为零，对计算平均值无贡献．例 如，所有分子都沿图中菱形边运动，相互碰撞 也离不开菱形． 有不少学者举出类似于上述的“死胡同” 作为反例，说明“各态历经”是不能实现的．这 是不妥的，因为该理论已指出，“各态历经”并 不包括这些特殊点，由于它们的测度为零，排 除它们不会改变能量曲面上的平均值． 下面从几何上对“各态历经”打个比喻． 一个质点沿圆环等速率运动，角速度为 ω ．同时，该圆环绕轴线OO′ 匀速转动，角速 度为Ω ．两者合成质点在球面上的运动，画出 一条轨道．如果ω 与Ω 之比是有理数，则此轨 道在球面上闭合，不能各“态”历经．如果ω 与Ω 之比是无理数，则此轨道可无限接近球面 上的任何一点，但不能保证可以到达每一点． 2．平均值定理[3]： 如果某体系是各态历经的，则系综平均值 等于沿轨道的时间平均值： ( ) ( ) 0 0 1 lim d t T T t f f tt T ξ + →∞ = 系综 ∫ ， (2.1) 其中ξ 表示体系在相空间中代表点的全部坐标．因此，只要“各态历经”成立， 系综论的假设就有了力学基础．在此意义上，可由力学规律导出系综理论．有一 学派就认为“各态历经”是统计物理的基本假定． 这样，统计物理的基本问题变为“各态历经”能否实现． 3．实现“各态历经”的条件： N 个粒子的系统有3N 个自由度，Hamilton 方程是 6N 个联立的微分方程 组．如果是完全可积的，则有6N 个运动常数，其中的一个是总能量 E （能量守 恒）： H E ( p q i i , ) = ． (2.2) 通俗一点讲，某体系可以各态历经的条件是：除能量积分外，不存在其他的 运动积分．这是容易理解的．如果还存在另一积分
力学规律和统计规律的关系(复旦大学物理系,孙鑫,2004年7月) f(P, q, )=C (23) 它在相空间(p,q)中是一个超曲面,此曲面将与能量曲面(22)相交,则体系的代 表点只能在此相交的部分运动,而不能遍历能量曲面,也就不能各态历经. 数学上已证明,“各态历经”的充要条件是该动力学体系具有“度量可移性” ( Metric Transitivity)向.该数学条件在物理上如何实现,还有待进一步研究.因 而,物理上,“各态历经”仍有假定的成分,尚未完全解决 但是,可以举出一些模型体系,它们是各态历经的.刚球模型就是其中之 4.刚球碰撞模型: 在一体积V固定的容器中装有N个半径为r的刚球,刚球之间及刚球与器壁 都是弹性碰撞 这是一个简单的力学模型.虽然刚球碰撞时动量守恒,但刚球与器壁碰撞, 球的动量要改变,而容器是外界,因而体系的总动量不是积分常数.此体系只有 总能量是积分常数.文献[6]证明了该体系是各态历经的 根据前面介绍的平均值定理,此体系的长时间平均等于系综平均,因而可从 力学规律导出 Maxwel分布 计算机的模拟结果显示,当N=10时,粒子很少,可以由力学确定任何时刻 各粒子的位置r(),是决定论因果性的.每个瞬时,按速率的分布n(v,)是断断 续续的,时刻在变,没有意义.但是,积累一段时间T后,将瞬时分布n(v,)按 时间T作平均,就逐渐显示出 Maxwel1分布.时间T不长时,分布的起伏σ(T)很 大.T增加时,起伏σ(T)逐渐减小,经过T后,趋向一稳定的起伏σ,见如下 示意图 当N=100时,瞬时的分布偏离 Maxwell分布仍较远,起伏很大.经时间 平均后,逐渐接近 Maxwell分布.与 N=10 N=10相比,达到稳定起伏的时间缩 N=100 短了,而且稳定的起伏σ也变小了.数 (10) σ(100- 值结果表示,σ0(100)约为a0(10)的 70(100)7(0 J3.这符合统计规律an(N)-1
力学规律和统计规律的关系（复旦大学物理系，孙鑫，2004 年 7 月） 3 f ( p q i i , ) = C ， (2.3) 它在相空间( ) ,i i p q 中是一个超曲面，此曲面将与能量曲面(2.2)相交，则体系的代 表点只能在此相交的部分运动，而不能遍历能量曲面，也就不能各态历经． 数学上已证明，“各态历经”的充要条件是该动力学体系具有“度量可移性” （Metric Transitivity）[4]．该数学条件在物理上如何实现，还有待进一步研究．因 而，物理上，“各态历经”仍有假定的成分，尚未完全解决． 但是，可以举出一些模型体系，它们是各态历经的[5]．刚球模型就是其中之 一[6]． 4．刚球碰撞模型： 在一体积V 固定的容器中装有 N 个半径为r 的刚球，刚球之间及刚球与器壁 都是弹性碰撞． 这是一个简单的力学模型．虽然刚球碰撞时动量守恒，但刚球与器壁碰撞， 球的动量要改变，而容器是外界，因而体系的总动量不是积分常数．此体系只有 总能量是积分常数．文献[6]证明了该体系是各态历经的． 根据前面介绍的平均值定理，此体系的长时间平均等于系综平均，因而可从 力学规律导出 Maxwell 分布． 计算机的模拟结果显示，当 N =10时，粒子很少，可以由力学确定任何时刻 各粒子的位置ri ( )t ，是决定论因果性的．每个瞬时，按速率的分布n vt ( ) , 是断断 续续的，时刻在变，没有意义．但是，积累一段时间T 后，将瞬时分布n vt ( ) , 按 时间T 作平均，就逐渐显示出 Maxwell 分布．时间T 不长时，分布的起伏σ ( ) T 很 大．T 增加时，起伏σ ( ) T 逐渐减小，经过T0 后，趋向一稳定的起伏σ 0，见如下 示意图． 当 N =100 时，瞬时的分布偏离 Maxwell 分布仍较远，起伏很大．经时间 平均后，逐渐接近 Maxwell 分布．与 N =10相比，达到稳定起伏的时间T0 缩 短了，而且稳定的起伏σ 0 也变小了．数 值结果表示， σ 0 (100) 约为 σ 0 ( ) 10 的 1 3．这符合统计规律σ 0 ( ) N N ∼ 1 ． T σ ( ) T T0 (100) T0 (10) σ 0 (10) σ 0 (100) N =10 N = 100
教案讨论二 显示统计规律并不要求体系中的粒子数N非常大(N~100).当粒子数N不 大时,由于活动的体积V也不大,密度p=NV是确定的有限值,加上一定的边 界条件,仍相当于热力学极限(p固定,N→∞,V→∞).于是,粒子数不多 的体系也能显示出统计规律,例如几百个粒子的刚性碰撞.又如,实验上,2000 个原子也能出现 Bose-Einstein凝结 四.结论 1.对于一般的体系,目前还不能证明“各态历经”在物理上是可以实现的.因 而,还不能由力学规律导出统计规律.但也不能证明“各态历经”不能实现.这 方面的研究仍在不断深入 2.刚球模型体系是各态历经的.在计算机模拟中,由力学定律得到 Maxwe分 布并不奇怪 3.严格地讲,对于各态历经的体系,经过无限长时间的平均值才等于系综平均 值.实际上,经过一段不太长的时间(碰撞次数足够多)后,时间平均就非 常接近系综平均了.这是因为,相空间中代表点的轨道延伸具有扩展性,它 首先伸向相空间的不同部分,很快在整个相空间形成“疏而不漏”的网,虽 不致密,但足够代表所有的微观态了 4.对宏观体系,不可避免地会有各种偶然的干扰和外界的影响.这些随机因素 难以用力学规律描述,决定论存在困难.概率论的系综理论更自然 [1]R. C. Tolman, The Principles of statistical Mechanics, Oxford University Press, (1962) 2]G Morandi, Statistical Mechanics, World Scientific,(2001) 3]G D. Birkhoff, Dynamical Systems, Am. Math. Soc. Coll. Pub., Vol. IX, (1928) [4]D. Ter Haar, Foundation of Statistical Mechanics, Rev. Mod. Phys. 27, 289(1955) 5]V 1. Arnold, Ergodic Problem of classical Mechanics, Benjamin, (1968) 6Y Sinai, Ergodic Hypothesis of a Dynamical System of statistical Mechanics, Sov. Math. Dokl 4,1818(1963)
4 教案讨论二 显示统计规律并不要求体系中的粒子数 N 非常大（ 10 N ∼ 10 ）．当粒子数 N 不 大时，由于活动的体积V 也不大，密度 ρ = N V 是确定的有限值，加上一定的边 界条件，仍相当于热力学极限（ ρ 固定， N → ∞ ，V → ∞）．于是，粒子数不多 的体系也能显示出统计规律，例如几百个粒子的刚性碰撞．又如，实验上，2000 个原子也能出现 Bose-Einstein 凝结． 四． 结论 1．对于一般的体系，目前还不能证明“各态历经”在物理上是可以实现的．因 而，还不能由力学规律导出统计规律．但也不能证明“各态历经”不能实现．这 方面的研究仍在不断深入． 2．刚球模型体系是各态历经的．在计算机模拟中，由力学定律得到 Maxwell 分 布并不奇怪． 3．严格地讲，对于各态历经的体系，经过无限长时间的平均值才等于系综平均 值．实际上，经过一段不太长的时间（碰撞次数足够多）后，时间平均就非 常接近系综平均了．这是因为，相空间中代表点的轨道延伸具有扩展性，它 首先伸向相空间的不同部分，很快在整个相空间形成“疏而不漏”的网，虽 不致密，但足够代表所有的微观态了． 4．对宏观体系，不可避免地会有各种偶然的干扰和外界的影响．这些随机因素 难以用力学规律描述，决定论存在困难．概率论的系综理论更自然． [1] R. C. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics, Oxford University Press, (1962). [2] G. Morandi, Statistical Mechanics, World Scientific, (2001). [3] G. D. Birkhoff, Dynamical Systems, Am. Math. Soc. Coll. Pub., Vol. IX, (1928). [4] D. Ter Haar, Foundation of Statistical Mechanics, Rev. Mod. Phys. 27, 289 (1955). [5] V. I. Arnold, Ergodic Problem of Classical Mechanics, Benjamin, (1968). [6] Y. Sinai, Ergodic Hypothesis of a Dynamical System of Statistical Mechanics, Sov. Math. Dokl. 4, 1818 (1963)