63试证明,对于二维自由粒子,在面积L2内,在E到E+dE的能量范围内, 量子态数为D(E)dE=2(2m)d 二维动量空间内,一个量子态占据的面积为 因而在圆环形区域 L 2xpdp内的量子态数为 D(P)dp (6.1) 由。立得P=√2mE,4=1md,代入(61,得到 D(Ede IL_(2m)de (6.2) 64在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为ε=φ.试求在体积V内, 在ε到E+dε的能量范围内三维粒子的量子态数. 解: 三维动量空间内,一个量子态占据的体积为2|,因而在球壳形区域 4xp2dp内的量子态数为 4π D(P)d=-}p24 (6.3) 由 得 d=dE,代入(6.3),得到 D(=)d=4x (64) h'c6.3 试证明，对于二维自由粒子，在面积 2 L 内，在ε 到ε + dε 的能量范围内， 量子态数为 ( ) ( ) 2 2 π d 2 L D m h ε ε ε = d ． 解： 二维动量空间内，一个量子态占据的面积为 2 h L ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，因而在圆环形区域 2πpdp内的量子态数为 ( ) 2 2 2π d d L D p p p p h = ． (6.1) 由 2 2 p m ε = 得 p = 2mε ，d 2 m p dε ε = ，代入(6.1)，得到 ( ) ( ) 2 2 π d 2 L D m h ε ε ε = d ． (6.2) 6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε = cp ．试求在体积V 内， 在ε 到ε + dε 的能量范围内三维粒子的量子态数． 解： 三维动量空间内，一个量子态占据的体积为 3 h L ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，因而在球壳形区域 2 4πp dp 内的量子态数为 ( ) 2 3 4π d d V D p p p p h = ． (6.3) 由ε = cp 得 p c ε = ， 1 dp d c = ε ，代入(6.3)，得到 ( ) 2 3 3 4π d d V D h c ε ε = ε ε ． (6.4)