证不妨设z=f(x,y)在点(x0,y)处有极大值, 则对于(x,y0)的某邻域内任意(x,y)≠(x,y) 都有∫(x,y)<∫(x0,y0) 故当y=y,x≠x0时,有f(x,y)<f(x0,y0), 说明一元函数f(x,y)在x=x处有极大值, 必有fx(x0,y0)=0; 类似地可证f,(x0,y)=0 推广如果三元函数n=f(x,y,z)在点P(x0,y0,) 具有偏导数,则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条 件为 f2(x0,y0,x0)=0,f,(x0,y0,z)=0, 0909 z0)=0证 不妨设z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y)  ( , ) 0 0 f x y , 故当 0 y = y ，x  x0时， 有 f (x, y0 )  ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x = x0处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数u = f ( x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0