理及其应 第5页 310.2有理三角函数的积分 有理三角函数的积分的形式是 R(sin 8, cos 0)d8, 其中R是sin,cos6的有理函数,在积分区间上是连续的.作变换z=e,则 相应的积分路径则变为z平面上的单位圆的圆周|2=1.于是, R (分 有理三角函数R(sin6,cos6)在积分区间0.2x上连续,就保证了有理函数R 在单位圆的圆周上无奇点 例10.4计算积分I 1+Ecos 6 9,< 解仿照上面的方法步骤,我们有 da de z2+1 2 2Ez+2 11-)/e 计算留数时,注意函数2/(2+2z+E)有两个极点 但由于它们的乘积为1,所以一定只有一个极点,z=(-1+√1-2)/e,处于单位圆内Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 5 ☞ §10.2 ✲✛✳✴✵✙✶✷✸ ✺♠➾✹❃❄★✦✭★✺q➌ I = Z 2π 0 R(sin θ, cos θ)dθ, ➳ ❊ R ➌ sin θ, cos θ ★✺♠❃❄❂❅✦✭ ✦✻ ■➌❋●★✷❛✼✽ z = eiθ ❂❑ sin θ = z 2 − 1 2iz , cos θ = z 2 + 1 2z , dθ = dz iz , ✾✿★✦✭❀❁❑✼✫ z ❂❃■★✲❄ ❅★ ❅❐ |z| = 1 ✷◗➌❂ I = I |z|=1 R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  dz iz = 2π X |z|<1 res  1 z R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  . ✺♠➾✹❃❄ R(sin θ, cos θ) ❅✦✭ ✦✻ [0, 2π] ■❋●❂r❆❇❈✺♠❃❄ R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  ❅✲❄ ❅★ ❅❐■❰✿❀✷ ➸ 10.4 ↔↕✦✭ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ, |ε| < 1 ✷ ➺ ❉❊■❃★✃❋●❍❂■❏✺ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ = I |z|=1 1 1 + ε z 2 + 1 2z dz iz = I |z|=1 2 εz2 + 2z + ε dz i = 2π X |z|<1 res  2 εz2 + 2z + ε  = 2π · 2 2εz + 2     z=(−1+√ 1−ε 2)/ε = 2π √ 1 − ε 2 . ↔↕ ◆❄♦❂❑▲❃❄ 2/(εz2 + 2z + ε) ✺➤✼➎❀❂ z = −1 ± √ 1 − ε 2 ε , ▼ ◆◗❖❏★➢✦✫ 1 ❂ ➦ ➓✬❧✩ ✺✬✼➎❀❂ z = (−1 + √ 1 − ε 2)/ε ❂▼◗✲❄ ❅❆✷