证明：由于f(x)在[a,b]上连续，因此必有最大值M和最小值m,于是有两种可能的情形 (I)M=m,此时fx)在[a,b]上必然取相同的数值M,即fx)=M 由此得f(x)=0.因此，任取5∈(a,b),有f)=0. (2)M>m,由于f)=f),所以M和m至少与一个不等于fx)在区间[a,b]端点处的函数值不妨 设M≠fa)(若m≠fa),可类似证明)，则必定在(a,)有一点5使fG)=M.因此任取xe[a,有f)sf() 从而由费马引理有∫'(5)=0.证毕 例1验证罗尔定理对x)=x2-2x-3在区间[-1,3引上的正确性 解显然f(x)=x2-2x-3-(x-3x+)在【-1,3上连续，在(-1,3)上可导，且 f-)=f3)=0,又f"(x)=2(x-1),取5=1,1∈(-1,3》，有f9=0 说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结论可能不成立 2使得定理成立的：可能多于一个，也可能只有一个 例如y=中x∈[-2,2]在【-2,2]上除∫0)不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间[-2,2】内 找不到一点能使∫"(x)=0 -x,xG(0,除了x=0点不连续外，在[0，川上满足罗尔定理的其余条件，但在区间 例如y={0,x=0 [0,1]上不存在使得f'"(5)=0的点.又如y=x,x∈[0,1小.除了f0)≠f外，在0，]上满足罗尔定理 的其余条仟，但在区间0小上不存在使得了代⑤)=0的点。又如y=c0xX受1请足定理的一 切条件，而5=0，π 2.罗尔定理的应用 罗尔定理1)可用于讨论方程只有一个根：2)可用于证明等式 例2证明方程x心=2在0，内有且仅有一个实根。 证明设f)=xe-2,则f(x)在(-0，+0)内可导。因为f0)<0,f0)>0,根据零点存在定 理，方程xe=2在(0,1)内有一个实根。若方程xe=2在(0,1内至少有两个实根a,b，,则 3 证明：由于 f (x) 在 [a,b] 上连续，因此必有最大值 M 和最小值 m ，于是有两种可能的情形： （1） M = m ，此时 f (x) 在 [a,b] 上必然取相同的数值 M，即 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. 因此，任取  (a,b) ，有 f ( ) 0.  = （2） M  m ，由于 f (a) = f (b) ，所以 M 和 m 至少与一个不等于 f (x) 在区间 [a,b] 端点处的函数值.不妨 设 M  f (a) (若 m  f (a),可类似证明),则必定在 (a,b) 有一点  使 f M ( )  = . 因此任取 x [a,b] 有 f x f ( ) ( )   , 从而由费马引理有 f ( ) = 0 . 证毕 例 1 验证罗尔定理对 ( ) 2 3 2 f x = x − x − 在区间 [−1,3] 上的正确性 解 显 然 ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x +1) 在 [−1,3] 上连续，在 (−1,3) 上可导，且 f (−1) = f (3) = 0 , 又 f (x) = 2(x −1), 取  =1, (1(−1,3)) ,有 f ( ) = 0 . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的  可能多于一个，也可能只有一个. 例如 y = x , x[−2,2] 在 [−2,2] 上除 f (0) 不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间 [−2,2] 内 找不到一点能使 f (x) = 0 . 例如    = −  = 0, 0 1 , (0,1] x x x y 除了 x = 0 点不连续外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的其余条件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f ( ) = 0 的点．又如 y = x, x[0,1]. 除了 f (0)  f (1) 外，在 [0,1] 上满足罗尔定理 的其余条件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f ( ) = 0 的点．又如 ] 2 3 , 2 cos , [   y = x x  − 满足定理的一 切条件，而  = 0, 2．罗尔定理的应用 罗尔定理 1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式． 例 2 证明方程 = 2 x xe 在 (0,1) 内有且仅有一个实根。 证明 设 ( ) = − 2 x f x xe ，则 f (x) 在 (−,+ ）内可导。因为 f (0)  0 ， f (1)  0 ，根据零点存在定 理，方程 = 2 x xe 在 (0,1) 内有一个实根。若方程 = 2 x xe 在 (0,1) 内至少有两个实根 a,b ， 则