教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用 教学过程： 一、罗尔定理 1.罗尔定理 费马引理设函数f(x)在点x的某邻域U(x,)内有定义，并且在x处可导，如果对任意xEU(,),有 f)sf,)(或fx)2f),那么f(x)=0. 证明：不妨设x∈U(,)时，fx)≤fx)(若f(x)≥f(),可以类似地证明) 于是对于x+AreU,有，+△)≤f化)，从而当Ax>0时，区+A-≤0：而当△x<0时， Ar f+△)-f≥0：根据函数f八x)在x,处可导及极限的保号性的得 △Ar 6=fx)=区+As0 △r )=)=-+-f0 Ar 所以fx)=0,证毕。 定义导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点，临界点）. 罗尔定理如果函数f)满足：(1)在闭区间[a,b1上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在区间 端点处的函数值相等，即f(@)=f(b),那么在(a,b)内至少在一点S(a<5<b),使得函数fx)在该点的导数 等于零，即f(5)=0 ↑y 22 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用. 教学过程： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 费马引理 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义 并且在 0 x 处可导 如果对任意 ( ) 0 xU x  有 ( ) ( ) 0 f x  f x (或 ( ) ( ) 0 f x  f x ) 那么 ( ) 0 0 ' f x = ． 证明：不妨设 ( ) 0 xU x 时， ( ) ( ) 0 f x  f x （若 ( ) ( ) 0 f x  f x ，可以类似地证明）. 于是对于 ( ) 0 0 x + x U x ,有 ( ) ( ) 0 0 f x + x  f x , 从而当 x  0 时, 0 ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x ；而当 x  0 时, 0 ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x ；根据函数 f (x) 在 0 x 处可导及极限的保号性的得 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x f x f x x + +  → +  −   = =   0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x f x f x x − −  → +  −   = =   所以 ( ) 0 0 ' f x = , 证毕． 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点)． 罗尔定理 如果函数 f (x) 满足：（1）在闭区间 [a,b] 上连续 （2）在开区间 (a,b) 内可导 （3）在区间 端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b) 那么在 (a,b) 内至少在一点   ( ) a b    使得函数 f (x) 在该点的导数 等于零，即 ' f ( ) 0  =   A C B O a y b x