§2一致收敛函数列与函数项级数的性质 (3(a)lim n(r)= lim nre nr=0=f(x),xE[0, 1] sup, fn(x)-f(x)\= sup wen' 由于fn(x)=nem(1-2nx2)知f(x)在x=1 2n达到[0,1 上的最大值,所以 ,1(x)-(x)1=、e1→∞(n→四) 故{nrem}在[0,1]上不一致收敛 fn(x)=ne (1-2nr2),limf(x) 0,0<x≤1 fn(x)}的每一项在[0,1]上连续,其极限函数在[0,1]上不连 续,故fn(x)在[0,1]上不一致收敛,(b)因{n}与{fn}在[0,1]上 都不一致收敛,所以{fn}不具有定理13.9,13.10,13.11的条件,又 1fn}的极限函数f(x)=0,在[0,1]上连续, mxmd=≠m1(x)dz=0 1fn(x)在x=0不收敛,所以{fn}具有定理13.9的结论;不具 有定理13.10,13.11的结论 2.证明:若函数列{n}在[a,b]上满足定理13.11的条件,则{fn 在[a,b]上一致收敛 证设∫n(x)*g(x)(n→∞)x∈[a,b] 因对[a,b]上任意x,x0,有 f,(a)=fn(zo)+fn(t)dt f(r)= lim/,(x)=f(zo)+ g(t)dt 所以 1/n(x)-(x)1=1m(x0)-f(x0)+[rn(x)-g()atl