证明同构 (1)证明f:G1-G2是同态,证明∫为双射 (2)同态基本定理:其中一个群是商群 例:H,K是G的正规子群,则HK,HnK也是G的正规子 群,且HH⌒KHKK 证明:先证明HK,HnK为正规子群(略 令 f:H>HKK,fh)=Kh, f(h h2)=Kh1h2=Kh kh2f(h1f(h2) 任取K属于HKK, hhk= Kkh=Kh' 存在h使得fh”)=Kh=Khk.∫为满同态 ke={∈H,Kh=的={hh∈H,h∈=HnK, 由同态基本定理 HHOKE HKK(1) 证明 f:G1→G2是同态，证明 f 为双射 (2) 同态基本定理：其中一个群是商群 例：H,K 是 G 的正规子群，则 HK,H∩K 也是 G 的正规子 群, 且 H/H∩K ≅ HK/K 证明：先证明 HK, H∩K 为正规子群（略） 令 f:H→HK/K, f(h)=Kh, f(h1h2)=Kh1h2=Kh1Kh2 =f(h1)f(h2) 任取 Khk 属于 HK/K, Khk = Kk’h’ = Kh’, 存在 h’ 使得 f(h’) = Kh’ = Khk. f 为满同态. kerf={h|h∈H,Kh=K}={h|h∈H,h∈K}=H∩K, 由同态基本定理 H/H∩K ≅ HK/K . 证明同构