奥赛园地(第10期解答) 11.解:(1)是垂美四边形,理由如下: ∵AD=AB,∴点A在BD的垂直平分线上,同理:点C在BD的垂直平分线上, ,AC是BD的垂直平分线,即AC⊥BD,∴四边形ABCD是垂美四边形 (2)猜想结论:垂美四边形两组对边的平方和相等 已知:如解图①,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足是点O, 求证:AB2+CD2=AD2+BC2 B D E 第1题 第2题解 证明:∵AC⊥BD .AB2=0A2+0B2, CD2=OD2+OC2, AD=0A2+OD, BC2=OC2+OB2 .AB2+CD=0A2+0B2+0D+0C, AD2+BC=0A+0B2-+OD2+OC2,.AB2+CD=AD+BC2 (3)如解图②,连接CG,BE ∵∠GAC=∠BAE=90°,∴∠BAG=∠CAE, ∵AG=AC,AB=AE,∴△BAG≌△CAE,∴∠AGN=∠ACM,∵∠CNM=∠ANG,∴∠CMN=∠MAG=90°, BG⊥CE,即四边形CGEB是垂美四边形,∴CG2+BE2=BC2+GE,BC2=52-42=9,∴32+50=9+GE2, GE2=73,∴GE=√73 2.解:(1)①×;【解法提示】∵平行四边形不关于任何一条对角线对称,∴错误.②√;【解法提示】∵镜面四边 形关于对角线对称,∴镜面四边形的两条对角线互相垂直,∴镜面四边形的面积等于对角线积的一半 (2)如解图①,∵有一边长为5∴镜面四边形必有两边是Ⅴ (3)①∵AE⊥BP,EF=BE,∴AB=AF,∴∠EAF=∠BAF,∵∠GAF=∠FAD,∴∠EAG=∠EAF一∠GAF=∠ BAF-=∠FAD==∠BAD=30°; ②BM=EG 理由如下:如解图②,连接AC∵∠ABC=9°,在镜面四边形ABCD中,∠BAC=1∠BAD=30°:AB=√5BC, ∠ABC=∠AEB=∠CMB=90°,∴∠BAE+∠ABF=∠ABP+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF, △ABEC△BCM,·BMBC=V5,:AE=BM,:∠EAG=30,4B⊥BP,∴AE=V3BG,.∴BM=BG cos∠CBM=Y0或 【解法提示】设BM=x,BC=y,∴CM=Vy2-x2,∵△ABE∽△BCM, BC CM V3,.AE=V3BM=V3x, i AB=V3BC=V3y, BE=V3CM=V3 又∵由②得EG=BM=x∴BG=BE+EG=(2-x2)+x,MG=BE=√3(y2-x2),CG=MC+MG2=2-￥ AE⊥BP,∠EAG=30°,∴AG=2EG=2x,由题意得AG>BC 以线段CB,CG,AG为边构成的三角形是直角三角形,只有两种AG为斜边或CG为斜边 ①G为斜边,:CBF+C=e,∴:;+(2-=(29,:y=20或y=210(,:BMF=,BC=y=2y10 x,∴cos∠CBM= ②CG为斜边,∴:CB2+A2=CG,∴;y2+(2x=(22-x),∴y= 2x或y-3舍),∴B2x,BM=x 2 BC4综上所述,cs∠CBM=Y1D或Y cos∠CBM=BMV6奥赛园地（第 10 期解答） 1. 解：（1）是垂美四边形，理由如下： ∵AD＝AB，∴点 A 在 BD 的垂直平分线上，同理：点 C 在 BD 的垂直平分线上， ∴AC 是 BD 的垂直平分线，即 AC⊥BD，∴四边形 ABCD 是垂美四边形． （2）猜想结论：垂美四边形两组对边的平方和相等. 已知：如解图①，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD，垂足是点 O， 求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2 . 第 1 题解 第 2 题解 证明：∵AC⊥BD， ∴AB2＝OA2＋OB2，CD2＝OD2＋OC2，AD2＝OA2＋OD2，BC2＝OC2＋OB2， ∴AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OD2＋OC2，AD2＋BC2＝OA2＋OB2＋OD2＋OC2，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2 ； （3）如解图②，连接 CG，BE. ∵∠GAC＝∠BAE＝90°，∴∠BAG＝∠CAE， ∵AG＝AC，AB＝AE，∴△BAG≌△CAE，∴∠AGN＝∠ACM，∵∠CNM＝∠ANG，∴∠CMN＝∠NAG＝90°， ∴BG⊥CE，即四边形 CGEB 是垂美四边形，∴CG2＋BE2＝BC2＋GE2，BC2＝5 2－4 2＝9，∴32＋50＝9＋GE2， ∴GE2＝73，∴GE＝ 73. 2. 解：（1）①×；【解法提示】∵平行四边形不关于任何一条对角线对称，∴错误．②√；【解法提示】∵镜面四边 形关于对角线对称，∴镜面四边形的两条对角线互相垂直，∴镜面四边形的面积等于对角线积的一半． （2）如解图①，∵有一边长为 5.∴镜面四边形必有两边是 5. （3）①∵AE⊥BP，EF＝BE，∴AB＝AF，∴∠EAF＝ 1 2 ∠BAF，∵∠GAF＝ 1 2 ∠FAD，∴∠EAG＝∠EAF－∠GAF＝ 1 2 ∠ BAF－ 1 2 ∠FAD＝ 1 2 ∠BAD＝30°； ②BM＝EG. 理由如下：如解图②，连接 AC.∵∠ABC＝90°，在镜面四边形 ABCD 中，∠BAC＝ 1 2 ∠BAD＝30°∴AB＝ 3BC， ∵∠ABC＝∠AEB＝∠CMB＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝∠ABP＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE∽△BCM，∴ AE BM＝ AB BC＝ 3，∴AE＝ 3BM，∵∠EAG＝30°，AE⊥BP，∴AE＝ 3EG，∴BM＝EG； ③cos∠CBM＝ 10 4 或 6 4 . 【解法提示】设 BM＝x，BC＝y，∴CM＝ y 2－x 2，∵△ABE∽△BCM，∴ AE BM＝ AB BC＝ BE CM＝ 3，∴AE＝ 3BM＝ 3x， AB＝ 3BC＝ 3y，BE＝ 3CM＝ 3（y 2－x 2）， 又∵由②得 EG＝BM＝x∴BG＝BE＋EG＝ 3（y 2－x 2）＋x，MG＝BE＝ 3（y 2－x 2），∴CG＝ MC2＋MG2＝2 y 2－x 2， ∵AE⊥BP，∠EAG＝30°，∴AG＝2EG＝2x，由题意得 AG＞BC， 以线段 CB，CG，AG 为边构成的三角形是直角三角形，只有两种 AG 为斜边或 CG 为斜边； ①AG 为斜边，∴CB2＋CG2＝AG2，∴y 2＋(2 y 2－x 2 ) 2＝(2x) 2，∴y＝ 2 10 5 x 或 y＝－ 2 10 5 x(舍)，∴BM＝x，BC＝y＝ 2 10 5 x，∴cos∠CBM＝ BM BC＝ 10 4 ； ②CG 为斜边，∴CB2＋AG2＝CG2，∴y 2＋(2x) 2＝(2 y 2－x 2 ) 2，∴y＝ 2 6 3 x 或 y＝－ 2 6 3 x(舍)，∴BC＝y＝ 2 6 3 x，BM＝x， ∴cos∠CBM＝ BM BC＝ 6 4 .综上所述，cos∠CBM＝ 10 4 或 6 4