证明:(1)由于dimV≥2.任取V的两个线性无关的向量a,B.如果f(a,a)=0,则￡=a即为所 求.现设∫(a,a)≠0.则2次方程 t2f(a,a)+2tf(a,B)+f(,B)=0 在复数范围内有解.设t∈C是t的一个解.令 E=toa +B, 则5≠0因a,B线性无关),且 f($, 5)=tof(a, a)+ 2tof(a, B)+f(B, B)=0 从而ξ=toa+B即为所求 (2)由(1)所证,存在5≠0∈V使f(5,)=0.又因f非退化故存在a∈V使f(5,a)≠0. (a)如f(a,a)=0,则令T f(,a)Q,即有 f(5,)=f(n,n)=0,f(5,n)=1 (b)如f(a,a)≠0.则取 直接验证可知f(n,n)=0,f(5,m)=1,而5,n的线性无关性是显然的故5,即为所求 *11.证明:如果线性空间V上的对称双线性函数∫能分解为两个线性函数之积 f(a, B)=fi(a)f2(8), Va, BE V, 则存在非零数入及线性函数g,使 f(a, B)= Ag(a)g(B) 证明:如果∫=0.则结论当然成立现设f≠0.因此存在ao,B∈V,使得f(a0,6)≠0.定义 则g为V上线性函数,且9≠0.对任意的∈V, g(6)=f(a0,B)=f1(ao)f2() g()=f(a0,3)=f(,ao)=f1()f2(a0) 显然f1(ao)≠0,f2(ao)≠0(否则9≠0).由此知 g() (a0J( v∈V f2(3) 令 f(a,B)=f1(a)f2(6) h2(0)0·~1 f(ao9(B)=1g(a)9() *12.设A为半正定矩阵,证明:A*也是半正定矩阵 证明:如果 rank a=n,则A是正定矩阵习题7已证明了A*正定.如果 rank a≤n-2,则A·=0, 从而A·半正定.最后考虑 rank A=n-1的情形.此时 rank a*=1,从而A·的阶数≥2的主子式都是 0,而A·的1阶主子式=Aa(i=1,……,n)=A的aa的代数余子式(=1,……,m)=A的a1t的余子式 (=1,…,n)=A的n-1阶主子式≥0(因A半正定).所以A*半正定✪✫: (1) ❆❝ dim V > 2. ✳① V ✢ ➥ ✩✣✤➣↔✢♦❧ α, β. ②➌ f(α, α) = 0, ✾ ξ = α ❸❍✚ ✻ . →✍ f(α, α) 6= 0. ✾ 2 qrs t 2 f(α, α) + 2tf(α, β) + f(β, β) = 0 (*) ❏➚✙➪➶➹✵ ❊ . ✍ t0 ∈ C ✎ t ✢★✩❊ . ✽ ξ = t0α + β, ✾ ξ 6= 0 (❞ α, β ✣✤➣↔), ✱ f(ξ, ξ) = t 2 0f(α, α) + 2t0f(α, β) + f(β, β) = 0. ❋● ξ = t0α + β ❸❍✚✻ . (2) ❆ (1) ✚✦, ■❏ ξ 6= 0 ∈ V ❅ f(ξ, ξ) = 0. ❣❞ f ❢➂➃, ➝■❏ α ∈ V ❅ f(ξ, α) 6= 0. (a) ② f(α, α) = 0, ✾ ✽ η = 1 f(ξ, α) α, ❸✵ f(ξ, ξ) = f(η, η) = 0, f(ξ, η) = 1. (b) ② f(α, α) 6= 0, ✾ ① η = 1 f(α, ξ) α − f(α, α) 2(f(α, ξ))2 ξ, ➘➴❷✦✐ ❈ f(η, η) = 0, f(ξ, η) = 1, ● ξ, η ✢✣✤➣↔✤✎✬✭✢. ➝ ξ, η ❸❍✚✻ . ∗11. ✦✧: ②➌✣✤✥✑ V ✒✢✲➍❪✣✤✘✙ f ➷✉❊ ❍ ➥ ✩✣✤✘✙➩➬: f(α, β) = f1(α)f2(β), ∀α, β ∈ V, ✾ ■❏❢➑✙ λ ❁✣✤✘✙ g, ❅ f(α, β) = λg(α)g(β). ✪✫: ②➌ f = 0, ✾➒➓❫✭✜➔. →✍ f 6= 0. ❞❡■❏ α0, β0 ∈ V , ❅ ❉ f(α0, β0) 6= 0. ⑥⑦ g : V −→ K γ 7−→ f(α0, γ) ✾ g ❍ V ✒✣✤✘✙, ✱ g 6= 0. ✲✳✴✢ β ∈ V , g(β) = f(α0, β) = f1(α0)f2(β) g(β) = f(α0, β) = f(β, α0) = f1(β)f2(α0) ✬✭ f1(α0) 6= 0, f2(α0) 6= 0 (❭ ✾ g 6= 0). ❆ ❡ ❈ , f1(β) = 1 f2(α0) g(β) f2(β) = 1 f1(α0) g(β) ∀β ∈ V. ✽ λ = 1 f1(α0)f2(α0) , ✾ f(α, β) = f1(α)f2(β) = 1 f2(α0) g(α) · 1 f1(α0) g(β) = λg(α)g(β). ∗12. ✍ A ❍➮➲⑥♠♥, ✦✧: A∗ ❥✎➮➲⑥♠♥. ✪✫: ②➌ rank A = n, ✾ A ✎➲⑥♠♥, ➅ ❃ 7 ❇ ✦✧❯ A∗ ➲⑥. ②➌ rank A 6 n − 2, ✾ A∗ = 0, ❋● A∗ ➮➲⑥. ➱✃↕❐ rank A = n − 1 ✢ ➼ ➠. ❡❴ rank A∗ = 1, ❋● A∗ ✢➈✙ > 2 ✢❒❜❮❛✎ 0, ● A∗ ✢ 1 ➈❒❜❮ = Aii (i = 1, · · · , n) = A ✢ aii ✢⑩✙❰❜❮ (i = 1, · · · , n) = A ✢ aii ✢❰❜❮ (i = 1, · · · , n) = A ✢ n − 1 ➈❒❜❮ > 0 (❞ A ➮➲⑥). ✚✶ A∗ ➮➲⑥. · 10 ·