其中g(a,B)是对称双线性函数,h(a,B)是反称双线性函数,则 f(3,a)=g(6,a)+h(,a)=g(a,3)-h'(a,B) 从而 g(a,B)=(a,A+f(,a)=y(a,) h(a,3)=x[f(a,B)-f(,a)=h(a,B) *9.证明:双线性函数∫具有正交对称性的充分必要条件是f为对称或反称双线性函数 证明:充分性是显然的.下面证必要性 (1)如对任意的a∈V都有f(a,a)=0,则对任意的a,B∈V, 0=f(a+B,a+B)=f(a,a)+f(a,3)+f(,B)+f(B,B)=f(a,B)+f(,a) 因此f(a,B)=-f(6,a),f是反称双线性函数. (2)如果存在∈V使f(,)≠0.则对任意的a∈V,由于 f(a,7)-f(a,)=0 所以f(,a =0.因此 f(a,)=f(,a) 对于任意的α,B∈V,以下再分两种情况讨论: (a)如果f(a,0)≠0,则 f(a, B) f(a,B)-f(a,)=0 因此f(-f(,a)=0,从而 0=f(a)-f(,B) f(a,) f(a, B) f(,0-7,)f(a,)由() 即f(a,B)=f(,a). (b)如果f(a,7)=0,则 7,B-f(a,B)+f(,B) f(,) 7)=f(a,)+f(,B)-f(a,)-f(,B)=0, 因此f(B- a,B)+f(, B 0.从而 f(3,a)+f(,y)-f(a,B)-f(,B)=0. 由(*)知f(B,0)=f(,,因此f(a,B)=f(,a) 由(a)和(b)可得∫为对称双线性函数 10.设V是复数域上的线性空间,其维数n≥2,f是V上的一个对称双线性函数.证明: (1)V中有非零向量,使f(5,5)=0 (2)当f是非退化时,必有线性无关的向量ξ,n,满足 f(5,)=f(m,n)=0✿❀g 0 (α, β) ✎✲➍❪✣✤✘✙, h 0 (α, β) ✎➏➍❪✣✤✘✙, ✾ f(β, α) = g 0 (β, α) + h 0 (β, α) = g 0 (α, β) − h 0 (α, β). ❋● g 0 (α, β) = 1 2 [f(α, β) + f(β, α)] = g(α, β), h 0 (α, β) = 1 2 [f(α, β) − f(β, α)] = h(α, β). ∗9. ✦✧: ❪✣✤✘✙ f ➳✵➲➵✲➍✤✢t✉✈✇◗❘✎ f ❍✲➍➎➏➍❪✣✤✘✙. ✪✫: t✉✤✎✬✭✢. ❳➸✦✈✇✤. (1) ②✲✳✴✢ α ∈ V ❛✵ f(α, α) = 0, ✾ ✲✳✴✢ α, β ∈ V , 0 = f(α + β, α + β) = f(α, α) + f(α, β) + f(β, β) + f(β, β) = f(α, β) + f(β, α). ❞❡ f(α, β) = −f(β, α), f ✎➏➍❪✣✤✘✙. (2) ②➌■❏ γ ∈ V ❅ f(γ, γ) 6= 0. ✾ ✲✳✴✢ α ∈ V , ❆❝ f  α − f(α, γ) f(γ, γ) γ, γ = f(α, γ) − f(α, γ) = 0, ✚✶ f  γ, α − f(α, γ) f(γ, γ) γ  = 0. ❞❡ f(α, γ) = f(γ, α). (*) ✲❝ ✳✴✢ α, β ∈ V , ✶❳➺✉➥➻➼➽➾➓ : (a) ②➌ f(α, γ) 6= 0, ✾ f  α, β − f(α, β) f(α, γ) γ  = f(α, β) − f(α, β) = 0, ❞❡ f  β − f(α, β) f(α, γ) γ, α = 0, ❋● 0 = f(β, α) − f(α, β) f(α, γ) f(γ, α) = f(β, α) − f(α, β) f(α, γ) f(α, γ) ❆ (*) = f(β, α) − f(α, β), ❸ f(α, β) = f(β, α). (b) ②➌ f(α, γ) = 0, ✾ f  α + γ, β − f(α, β) + f(γ, β) f(γ, γ) γ  = f(α, β) + f(γ, β) − f(α, β) − f(γ, β) = 0, ❞❡ f  β − f(α, β) + f(γ, β) f(γ, γ) γ, α + γ  = 0. ❋● f(β, α) + f(β, γ) − f(α, β) − f(γ, β) = 0. ❆ (*) ❈ f(β, γ) = f(γ, β), ❞❡ f(α, β) = f(β, α). ❆ (a) ➫ (b) ✐ ❉ f ❍✲➍❪✣✤✘✙. ∗10. ✍ V ✎➚✙✷✒✢✣✤✥✑, ✿✸✙ n > 2, f ✎ V ✒✢★✩✲➍❪✣✤✘✙. ✦✧: (1) V ❀✵❢➑♦❧ ξ, ❅ f(ξ, ξ) = 0; (2) ❫ f ✎❢➂➃❴, ✈✵✣✤➣↔✢♦❧ ξ, η, ◆❖: f(ξ, η) = 1, f(ξ, ξ) = f(η, η) = 0. · 9 ·