A;= T-T 则A1也是对称矩阵, rank a=1且A=A1+42+…+A 6.设A为实矩阵,证明:AA与A的秩相等 证明:易知,ATA是实对称矩阵.考察实数域上的齐次线性方程组 ATAX=O AX=0 显然(2)的解都是(1)的解 设X∈R为(1)的一个解令 Y=AX YTY=XTATAX=O 从而 y2+v2+…+v2 由于v均为实数,因此=y 0,Y=0,即 AX=0. 从而(1)的解也都是(2)的解.(1)与(2)同解.由齐次线性方程组解的性质知 rank aA= rank a 7.设A为正定矩阵,证明:A-1与A*都是正定矩阵 证明:易知A-1与A*都是实对称矩阵且A=|4·A-1.因A正定,存在可逆实矩阵C使 CrC=A.从而A-1=C-C-1也正定.由|4>0可知A*=|4·4-1也正定 8.证明:任意一个双线性函数都可唯一表为一个对称双线性函数和一个反称双线性函数之和 证明:(1)设f(a,B)是一个双线性函数,易知 g(a,B)=[f(a,B)+f(,a) 是对称双线性函数 为反称双线性函数,且 f(a, B) (2)又设 f(a, B)=g(a, B)+h(a, B)✽ Ai = T −T   0 . . . ai 0 . . . 0   T −1 , ✾ Ai ❥✎✲➍♠♥, rank Ai = 1 ✱ A = A1 + A2 + · · · + Ar. 6. ✍ A ❍✗♠♥, ✦✧: ATA ❵ A ✢➦④ ➧. ✪✫: ▼❈ , ATA ✎✗✲➍♠♥. ↕➙✗✙✷✒✢♣q✣✤rs✛ A TAX = 0 (1) ❵ AX = 0. (2) ✬✭ (2) ✢ ❊ ❛✎ (1) ✢ ❊ . ✍ X ∈ R n ❍ (1) ✢★✩❊ . ✽ Y = AX =   y1 . . . yn   . ✾ Y TY = XTA TAX = 0, ❋● y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 n = 0. ❆❝ yi ➭❍✗✙, ❞❡ y1 = y2 = · · · = yn = 0, Y = 0, ❸ AX = 0. ❋● (1) ✢ ❊ ❥❛✎ (2) ✢ ❊ . (1) ❵ (2) ❂ ❊ . ❆ ♣q✣✤rs✛❊ ✢✤➯❈ rank A TA = rank A. 7. ✍ A ❍➲⑥♠♥, ✦✧: A−1 ❵ A∗ ❛✎➲⑥♠♥. ✪✫: ▼❈ A−1 ❵ A∗ ❛✎✗✲➍♠♥. ✱ A∗ = |A| · A−1 . ❞ A ➲⑥, ■❏✐➋✗♠♥ C ❅ C TC = A. ❋● A−1 = C −TC −1 ❥➲⑥. ❆ |A| > 0 ✐ ❈ A∗ = |A| · A−1 ❥➲⑥. 8. ✦✧: ✳✴★✩❪✣✤✘✙❛✐❑★➨❍★✩✲➍❪✣✤✘✙➫★✩➏➍❪✣✤✘✙➩➫. ✪✫: (1) ✍ f(α, β) ✎★✩❪✣✤✘✙, ▼❈ g(α, β) = 1 2 [f(α, β) + f(β, α)] ✎✲➍❪✣✤✘✙, h(α, β) = 1 2 [f(α, β) − f(β, α)] ❍➏➍❪✣✤✘✙, ✱ f(α, β) = g(α, β) + h(α, β). (2) ❣✍ f(α, β) = g 0 (α, β) + h 0 (α, β), · 8 ·