解:(1)取T=01-2,则TAT=010 10 00 (2)取T 则TAT=010 22 (3)取 0,则rTT=0 ()取T=(010),则rr=(000 001 000 证明 相合,其中i,…,in是1,…,n的一个排列 证明:考察n维线性空间V.设∫为V上的对称双线性函数,它在基m1,……,m下的度量矩阵为 易知m1,…,mn仍是V的基,且∫在n2 nn下的度量矩阵为 因此这两个矩阵相合 5.证明:秩等于r的对称矩阵可以表为r个秩等于1的对称矩阵之和 证明:设A是秩为r的对称矩阵,则存在可逆矩阵T,使得 a1≠0. 0(3)   0 1 1 1 0 1 1 1 0  ; (4)   1 1 1 1 1 1 1 1 1  ; ✼ : (1) ① T =   1 −1 2 0 1 −2 0 0 1  , ✾ T TAT =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  . (2) ① T =   1 0 −1 0 1 4 − 1 4 0 1 2 1 2  , ✾ T TAT =   1 0 0 0 1 0 0 0 −1  . (3) ① T =   1 −1 1 0 1 0 1 −1 −1  , ✾ T TAT =   2 0 0 0 −2 0 0 0 −2  . (4) ① T =   1 −1 −1 0 1 0 0 0 1  , ✾ T TAT =   1 0 0 0 0 0 0 0 0  . 4. ✦✧:   λ1 λ2 . . . λn   ❵   λi1 λi2 . . . λin   ④➡, ✿❀i1, · · · , in ✎ 1, · · · , n ✢★✩➢❨. ✪✫: ↕➙ n ✸✣✤✥✑ V . ✍ f ❍ V ✒✢✲➍❪✣✤✘✙, ✹❏✺ η1, · · · , ηn ❳✢❦❧♠♥❍   λ1 λ2 . . . λn   , ▼❈ ηi1 , · · · , ηin ➤✎ V ✢✺, ✱ f ❏ ηi1 , · · · , ηin ❳✢❦❧♠♥❍   λi1 λi2 . . . λin   , ❞❡❙➥✩♠♥④➡. 5. ✦✧: ➦➧❝ r ✢✲➍♠♥✐✶➨❍ r ✩➦➧❝ 1 ✢✲➍♠♥➩➫. ✪✫: ✍ A ✎➦❍ r ✢✲➍♠♥, ✾ ■❏✐➋♠♥ T , ❅ ❉ T TAT =   a1 . . . ar 0 . . . 0   , ai 6= 0. · 7 ·