所以aj=0对i,j=1,…,n,即A=0.因此f非退化 另证:因为 f(A,B)=Tr AB=Tr((ATB)=Tr((ATTEB 由习题12(3)可知f非退化 1.设∫是线性空间V上的对称或反称双线性函数,W是V的真子空间 证明:对gW,必有非零向量n∈W+L(5),使对所有的a∈W,都有f(n,a)=0 证明:如W=0,则结论显然成立.现设W≠0.设a1,…,a。为W的基,则因5gW,5,a1,…,a 线性无关.考察线性方程组 x0f(5,a1)+r1f(a1,a1)+…+xsf(as,a1)=0 rof(5,a2)+x1f(a1,a2)+…+xsf(as,a2)=0 cof(S,as)+aif(a1,as)+.+Isf(as, as)=0 此齐次线性方程组的方程个数s小于未知量个数s+1,故(*)有非零解(ao,a1,……,a).令 则n∈W+L(),且n≠0因a1,…,as线性无关,且a0,a1,…,as不全为零.且由(*)知 f(7,az)=0,i=1,2, 又因a1,…,a为W的基故对任意的a∈W都有f(n,a)=0 2.V与∫同上题,W是V的线性子空间,令 W={a∈vlf(a,B)=0.v∈W} 证明:(1)W是V的线性子空间 (2)如果W∩W={0},则V=W由W. 证明:(1)由f(0,B)=0VB∈W,可得0∈W,因此W非空 对任意的a1,a2∈W,k∈K,则v∈W,有 f(a1+a2,3)=f(a1,3)+f(a2,B)=0 f(ka1,3)=kf(a1,B)=0 因此a1+a2∈W,ka1∈W,故W是V的线性子空间 (2)对任意的W,由上题所证,存在n≠0∈W+L(),使得f(n,a)=0va∈W,即n∈W 记n=a+a,则因W∩W=0,必有a≠0.所以 1n-a-a∈W+W 证得V≤W-+W 3.求可逆矩阵T,使TAT为对角形.其中A为下列矩阵 (1)122 2)-242✚✶ aji = 0 ✲ i, j = 1, · · · , n, ❸ A = 0. ❞❡ f ❢➂➃. ❼✦: ❞❍ f(A, B) = Tr AB = Tr((A T) TB) = Tr((A T) TEB), ❆➅ ❃ 12(3) ✐ ❈ f ❢➂➃. ☞ ✌ 8–2 1. ✍ f ✎✣✤✥✑ V ✒✢✲➍➎➏➍❪✣✤✘✙, W ✎ V ✢➐❜✥✑. ✦✧: ✲ ξ /∈ W, ✈✵❢➑♦❧ η ∈ W + L(ξ), ❅✲✚✵✢ α ∈ W, ❛✵ f(η, α) = 0. ✪✫: ② W = 0, ✾➒➓✬✭✜➔. →✍ W 6= 0. ✍ α1, · · · , αs ❍ W ✢✺, ✾ ❞ ξ /∈ W, ξ, α1, · · · , αs ✣✤➣↔. ↕➙✣✤rs✛    x0f(ξ, α1) + x1f(α1, α1) + · · · + xsf(αs, α1) = 0 x0f(ξ, α2) + x1f(α1, α2) + · · · + xsf(αs, α2) = 0 .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . x0f(ξ, αs) + x1f(α1, αs) + · · · + xsf(αs, αs) = 0 (*) ❡♣q✣✤rs✛✢rs✩✙ s ➛❝➜❈ ❧✩✙ s + 1, ➝ (*) ✵❢➑❊ (a0, a1, · · · , as). ✽ η = a0ξ + a1α1 + · · · + asαs, ✾ η ∈ W + L(ξ), ✱ η 6= 0 (❞ α1, · · · , αs ✣✤➣↔, ✱ a0, a1, · · · , as ➞✓❍➑). ✱ ❆ (*) ❈ f(η, αi) = 0, i = 1, 2, · · · , s. ❣❞ α1, · · · , αs ❍ W ✢✺, ➝✲✳✴✢ α ∈ W ❛✵ f(η, α) = 0. 2. V ❵ f ❂✒❃, W ✎ V ✢✣✤❜✥✑, ✽ W⊥ = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ W}. ✦✧: (1) W⊥ ✎ V ✢✣✤❜✥✑; (2) ②➌ W ∩ W⊥ = {0}, ✾ V = W ⊕ W⊥. ✪✫: (1) ❆ f(0, β) = 0 ∀β ∈ W, ✐ ❉ 0 ∈ W⊥, ❞❡ W⊥ ❢✥. ✲✳✴✢ α1, α2 ∈ W⊥, k ∈ K, ✾ ∀β ∈ W, ✵ f(α1 + α2, β) = f(α1, β) + f(α2, β) = 0, f(kα1, β) = kf(α1, β) = 0, ❞❡ α1 + α2 ∈ W⊥, kα1 ∈ W⊥, ➝ W⊥ ✎ V ✢✣✤❜✥✑. (2) ✲✳✴✢ ξ /∈ W, ❆ ✒❃✚✦, ■❏ η 6= 0 ∈ W + L(ξ), ❅ ❉ f(η, α) = 0 ∀α ∈ W, ❸ η ∈ W⊥. ❿ η = α + aξ, ✾ ❞ W ∩ W⊥ = 0, ✈✵ a 6= 0. ✚✶ ξ = a −1 η − a −1α ∈ W⊥ + W. ✦ ❉ V ⊆ W⊥ + W. 3. ✻ ✐➋♠♥ T , ❅ T TAT ❍✲➟➠. ✿❀A ❍❳❨♠♥: (1)   1 1 0 1 2 2 0 2 5  ; (2)   1 −2 1 −2 4 2 1 2 1  ; · 6 ·