(2)f在基e1,E2,E3,E4下的度量矩阵为 -45939-27 39-953 11.设f是n维线性空间V上的双线性函数,证明:f非退化的充分必要条件是:从 f(a,3)=0,对所有的a∈V 可以推出B=0 证明:(→)令 W1={a∈V|f(a,B)=0,vB∈V W2={a∈v|f(,a)=0.,v∈V} 如∫非退化则由定义13及W1的定义知W1=0,从而由习题6得W2=0.因此由f(a,B)=0va∈V 可以推出a=0. ()如f(a,B)=0va∈V可以推出a=0,则W2=0,同理可得W1=0,则由定义1.3及W1的 定义知f非退化 12.设A∈Mm(K),V=Mm,n(K).定义V上的二元函数f如下: f(X,Y)=Tr(X AY),X,YE V (1)证明:f是V上的一个双线性函数 (2)求f在基E1,E12,…,E1n,…,Em1,…,Emn下的度量矩阵; (3)在什么条件下,∫是非退化的 解:(1)设X=(x1)mxn,Y=(v)mxm,A=(a1)m,则 f(X,Y Clank yki 1l=1 从而知f是双线性的 (2)由于f(Ex,E1)=6a,因此f在基E1,E12,…,E1n,…,Em1,…,Emn下的度量矩阵为 E B amIe 其中E是n阶单位方阵 3)由于|B=|4P,所以f非退化台→B≠0→|A|≠0.即∫非退化的充分必要条件是A 是可逆矩阵 13.证明:Mn(K)上的双线性函数 f(A, B)=Tr AB, A, BE Mn(K) 是非退化的 证明:设A=(a)∈Mn(K).如果 f(A, B)=Tr AB=0 VBE Mn(K) 则f(A,E)=0v,j=1 而 f(A, Eii)= Tr AEii=a,(2) f ❏✺ ε1, ε2, ε3, ε4 ❳✢❦❧♠♥❍ D = T TCT =   −45 9 39 −27 9 −45 9 −117 −39 −9 5 3 27 117 3 45   . 11. ✍ f ✎ n ✸✣✤✥✑ V ✒✢❪✣✤✘✙, ✦✧: f ❢➂➃✢t✉✈✇◗❘✎: ❋ f(α, β) = 0, ✲✚✵✢ α ∈ V, ✐✶➄⑨ β = 0. ✪✫: (⇒) ✽ W1 = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ V }, W2 = {α ∈ V | f(β, α) = 0, ∀β ∈ V }. ② f ❢➂➃, ✾❆⑥⑦ 1.3 ❁ W1 ✢⑥⑦❈ W1 = 0, ❋●❆➅ ❃ 6 ❉ W2 = 0. ❞❡❆ f(α, β) = 0∀α ∈ V ✐✶➄⑨ α = 0. (⇐) ② f(α, β) = 0 ∀α ∈ V ✐✶➄⑨ α = 0, ✾ W2 = 0, ❂❤✐❉ W1 = 0, ✾❆⑥⑦ 1.3 ❁ W1 ✢ ⑥⑦❈ f ❢➂➃. 12. ✍ A ∈ Mm(K), V = Mm,n(K). ⑥⑦ V ✒✢❩❬✘✙ f ②❳: f(X, Y ) = Tr(XTAY ), X, Y ∈ V. (1) ✦✧: f ✎ V ✒✢★✩❪✣✤✘✙; (2) ✻ f ❏✺ E11, E12, · · · , E1n, · · · , Em1, · · · , Emn ❳✢❦❧♠♥; (3) ❏➆➇◗❘❳, f ✎❢➂➃✢. ✼ : (1) ✍ X = (xij )m×n, Y = (yij )m×n, A = (aij )m, ✾ f(X, Y ) = Xn i=1 Xm l=1 Xm k=1 xlialkyki, ❋●❈ f ✎❪✣✤✢. (2) ❆❝ f(Est, Euv) = δtvasu, ❞❡ f ❏✺ E11, E12, · · · , E1n, · · · , Em1, · · · , Emn ❳✢❦❧♠♥❍ B =   a11E · · · a1mE . . . . . . . . . am1E · · · ammE   , ✿❀E ✎ n ➈➉➊r♥. (3) ❆❝ |B| = |A| n, ✚✶ f ❢➂➃ ⇐⇒ |B| 6= 0 ⇐⇒ |A| 6= 0. ❸ f ❢➂➃✢t✉✈✇◗❘✎ A ✎✐➋♠♥. 13. ✦✧: Mn(K) ✒✢❪✣✤✘✙ f(A, B) = Tr AB, A, B ∈ Mn(K) ✎❢➂➃✢. ✪✫: ✍ A = (aij ) ∈ Mn(K). ②➌ f(A, B) = Tr AB = 0 ∀B ∈ Mn(K) ✾ f(A, Eij ) = 0 ∀i, j = 1, · · · , n. ● f(A, Eij ) = Tr AEij = aji, · 5 ·