元函数积分学练习题 §1定积分的概念、性质和微积分基本定理 1.试用定积分表示下列各个极限 (1)im1k3 (2) lim k (3) lim (4)im(n+1(n+2)(2n) 2.证明下列不等式 (2)2 5 3.计算下列导数: d 4.求下列极限 sIn (e-D)dt (1) lim (2)lim 0x2ln(1+x) x SInx 算下列定积分 sin 2x (2)「 o 1+sinx xdx √h 6.证明方程 +t dt 有且只有一个实根 7.设函数∫在 1a上非负连续(a>0),且[1xf(x)dx=0,证明 Ixf(x)dslo 8.设∫在[0,+∞)上连续递增,证明:对于任意给定的b>a>0,成立 ∫)h2(小(x(x 9.设函数∫在[ab上连续,且f(x)>0。证明:J。f(x)d3≈(b-a) 10.设函数∫在[a,b上导数连续,且f(a)=f(b)=0。证明: ∫(xmNr(x一元函数积分学练习题 §1 定积分的概念、性质和微积分基本定理 1. 试用定积分表示下列各个极限： （1）   n k n k n 1 3 4 1 lim ； （2）    n k n n k nk n 1 2 2 1 lim ； （3）    n k n n k k n 1 2 2 1 lim ； （4） n n n n n n ( 1)( 2) (2 ) 1 lim     。 2. 证明下列不等式： （1）     2 1 2 0 1 3 6 1  dx x dx ； （2）     1 1 6 2 5 2 1 x dx 。 3．计算下列导数： （1）   x t dt dx d 2 tan 0 2 1 ； （2）     ln(1 ) 2 ln(1 ) x x t dt dx d 。 4. 求下列极限： （1） 0 lim x ln(1 ) sin 2 0 2 x x tdt x   ； （2） 0 lim x x x e dt x t sin ( 1) 2 sin 2 0 2   。 5. 计算下列定积分： （1）  4 0 sin 2  xdx ； （2）   2 0 1 sin cos  dx x x ； （3）   1 0 2 1 x xdx ； （4）   e x dx 1 (1 ln ) 。 6. 证明方程   x t dt 0 4 1 0 0 cos 2     x t e dt 有且只有一个实根。 7. 设函数 f 在        a a , 1 上非负连续 (a  0) ，且   a a 1 xf (x)dx 0 ，证明：    a a a a 1 x f x dx 1 f x dx 2 ( ) ( ) 。 8. 设 f 在 [0,  ) 上连续递增，证明：对于任意给定的 b  a  0 ，成立            b b a a xf x dx b f x dx a f x dx 0 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) 。 9. 设函数 f 在 [a, b] 上连续，且 f (x)  0 。证明： 2 ( ) ( ) ( ) b a f x dx f x dx b a b a     。 10．设函数 f 在 [a, b] 上导数连续，且 f (a)  f (b)  0 。证明： ( ) max ( ) ( ) 4 2 f x dx f x b a a x b b a      