第2章:求函数的零点问题 fx1+(1-A)x]≤λfx1)+(1-A)f(x2) 则称f(x)是[ab]上的凸函数 提示:如果f(×)是[a,b]上的凸函数,则曲线y=f(x)上任意两 点间的连线上的点都在曲线的上方,也就是“弓在弦下"。 提示:凸函数的另一个重要的几何特征是:过任意点作切线 曲线上的点都在切线的上方。 结论设f(刈)是[a,b]上二次连续可微的实函数如果恒有f"(∞x) ≥0,则f(×)是[ab]上的凸函数。 2.问题的提法 设f()是定义在闭区间[a,b上的二次连续可微函数,且 (1)f(a),f(b)<0 (2)f(x)≠0,对所有的x∈(ab) 3)f"(x)≥0,对所有的X∈(a,b) 试求f(x)=0在ab上的解。 提示:在上述的假设下,条件(1)保证了f(x)=0在[ab]上一定有 解;利用连续性,条件(2)保证了f(×)在[ab]上不变号,从而 得到f(x)是[ab上的单调函数;条件(3)保证了fx×)是ab上的 凸函第 2 章：求函数的零点问题 4 f[λ x1+(1-λ )x2]≤ λ f(x1)+(1-λ )f(x2) 则称 f(x)是[a,b]上的凸函数。 提示：如果 f(x)是[a,b]上的凸函数，则曲线 y=f(x)上任意两 点间的连线上的点都在曲线的上方，也就是“弓在弦下”。 提示：凸函数的另一个重要的几何特征是：过任意点作切线， 曲线上的点都在切线的上方。 结论：设f(x)是[a,b]上二次连续可微的实函数，如果恒有 f"(x) ≥ 0, 则 f(x)是[a,b]上的凸函数。 2． 问题的提法 设 f(x)是定义在闭区间[a,b]上的二次连续可微函数，且 (1) f(a)·f(b)<0 (2) f'(x)≠ 0 ,对所有的 x∈(a,b) (3) f"(x)≥ 0,对所有的 x∈(a,b) 试求 f(x)=0 在[a,b]上的解。 提示：在上述的假设下，条件（1）保证了 f(x)=0 在[a,b]上一定有 解；利用连续性，条件（2）保证了 f'(x)在[a,b]上不变号，从而 得到 f(x)是[a,b]上的单调函数；条件（3）保证了 f(x)是[a,b]上的 凸函