m m M ∑m M m 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y), 假定p(x,y)在D上连续,平面薄片的重心由元素法 xp(r, y)do yp(x, y)do 了x,yMo”jmx,yo 当薄片是均匀的,重心称为形心,x=xd,j 4形 其中A=d a(t-sn t) 例3设平面薄板由 y=a(1-c(0≤t≤2)与x轴围成,它的面密度 =1,求形心坐标 解先求区域D的面积A, 0≤t≤2丌, 0≤x≤2 A= y(x)dx= a(l-cost ) d[a(t-sin (1-cost)dt= 32 由于区域关于直线x=m对称,所以形心在x=m上,即x=m, dxd dx[ydy 6a Jo [y(a)dr=ar[-cosi] '=5a 所求形心坐标为(m,丌) y y(x) X5   = = = = n i i n i i i y m m x M M x 1 1 ，   = = = = n i i n i i i x m m y M M y 1 1 ． 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 (x, y) 处的面密度为 (x, y) ， 假定 (x, y) 在 D 上连续，平面薄片的重心由元素法 , ( , ) ( , )   = D D x y d x x y d x     . ( , ) ( , )   = D D x y d y x y d y     当 薄 片 是 均 匀 的 ， 重 心 称 为 形 心 . , 1  = D xd A x  . 1  = D yd A y   = D 其中 A d 例 3 设平面薄板由    = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t ，(0  t  2 ) 与 x 轴围成，它的面密度  =1 ，求形心坐标． 解 先求区域 D 的面积 A， 0  t  2 ， 0  x  2a  = a A y x dx 2 0 ( )  = − − 2 0 a(1 cost)d[a(t sin t)]  = − 2 0 2 2 a (1 cost) dt 3 . 2 = a 由于区域关于直线 x =a 对称 ，所以形心在 x =a 上，即 x = a ,  = D ydxdy A y 1   = ( ) 0 2 0 1 a y x dx ydy A   = a y x dx a   2 0 2 2 [ ( )] 6 1  = −   2 0 3 [1 cos ] 6 t dt a . 6 5 = 所求形心坐标为 ( , ) 6 5 a  . D a 2a y(x)