四、平面薄片的转动惯量 设xoy平面上有n个质点,它们分别位于(x1,y),(x2,y2),…,(xn,y)处, 质量分别为m,m2…,mn·则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为 mix l,=∑mx2 设有一平面薄片,古有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为 p(x,y),假定p(x,y)在D上连续,平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为 薄片对于x轴的转动惯量l2=y2p(x,y)do 薄片对于y轴的转动惯量,=x2(xy)da 例4设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为a、b,求这三角形对 其中任一直角边的转动惯量 解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上,如图 b 对y轴的转动惯量为=川小xh=3x2=1bh 同理:对x轴的转动惯量为l2=py2athy 例5已知均匀矩形板(面密度为常数p)的长和宽分别为b和h,计算此矩形 板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量 解先求形心x=1 verdi 区域面积A=bh,建立坐标系如图6 四、平面薄片的转动惯量 设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于 ( , ) 1 1 x y ，( , ) 2 2 x y ， , ( , ) n n x y 处， 质量分别为 m m mn , , , 1 2  ．则该质点系对于 x 轴和 y 轴的转动惯量依次为   = = = = n i i n i i i y m m x M M x 1 1 ， = = n i y i i I m x 1 2 . 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 (x, y) 处的面密度为 (x, y) ，假定 (x, y) 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为 薄片对于 x 轴的转动惯量 ( , ) , 2  = D I x y  x y d 薄片对于 y 轴的转动惯量 ( , ) . 2  = D I y x  x y d 例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为 a 、b ，求这三角形对 其中任一直角边的转动惯量. 解 设三角形的两直角边分别在 x 轴和 y 轴上，如图 对 y 轴的转动惯量为 , 2 I x dxdy D y  =    − = b a b y dy x dx 0 (1 ) 0 2  . 12 1 3 = a b 同理：对 x 轴的转动惯量为 I y dxdy D x  = 2  . 12 1 3 = ab  例 5 已知均匀矩形板（面密度为常数  ）的长和宽分别为 b 和 h ，计算此矩形 板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 解 先求形心 , 1  = D xdxdy A x . 1  = D ydxdy A y 区域面积 A= bh, 建立坐标系如图 a b o y x