第四章随机变量的数字特征 由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际 问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要 求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分 布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的平均寿命，即其平均寿命 是一个重要指标这就是说，随机变量的平均值，常常是一个重要的数量特征。在考察日 光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平 均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好 的。随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的 数量，虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征， 它们在理论和实践上都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学 期望、方差、相关系数和矩。 4.1 随机变量的数学期望 4.1.1离散型随机变量的数学期望 例1甲、乙两射手进行射击训练，己知在100次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 环数 8 9 10 次数 30 10 60 环数 8 9 10 次数 20 5030 试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？ 解从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来评定其技 术优劣。 甲平均射中的环数为 (8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)， 乙平均射中的环数为 (8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)， 故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。 本例中30=0.3,600.6,50=0.5等是事件(r=月在100次试验中发生的频率 100 100 100 (厂为命中环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件{厂=？一次试验中发生 10 的概率P,上述平均环数的计算可表示为∑仰，称之为随机变量r的数学期望或均 值.下面给出定义。第四章 第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际 问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要 求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分 布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的平均寿命，即其平均寿命 是一个重要指标.这就是说，随机变量的平均值，常常是一个重要的数量特征。在考察日 光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平 均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好 的。随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的 数量，虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征， 它们在理论和实践上都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学 期望、方差、相关系数和矩。 4.1 随机变量的数学期望 4 4 . . 1 1 . . 1 1 离散型随机变量的数学期望 例 1 1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在 100 次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 乙： 试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？ 解 从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来评定其技 术优劣。 甲平均射中的环数为 (8 30  910  10 60) 100  8 0.3 9 0.1 10 0.6  9.3（环）, 乙平均射中的环数为 (820 9501030) 100 8 0.2 9 0.5100.3  9.1（环）， 故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。 本例中 0.5 等是事件 在 100 次试验中发生的频率 100 50 0.6, 100 60 0.3, 100 30   {X  k} （ X 为命中环数），当射击次数相当大时，这个频率接近于事件{X  k}一次试验中发生 的概率 pk ，上述平均环数的计算可表示为  ，称之为随机变量 的数学期望或均  10 k 8 k kp X 值.下面给出定义。 环数 8 9 10 次数 30 10 60 环数 8 9 10 次数 20 50 30