《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 三、曲线的吻接 曲线的吻接及其解析表达 sm2x+2,x<0 例9设fx)=a, x=0,确定a、b和c的值，使函数f(x)在点x=0可导 bx+c. x>0 (a=c=2,b-1） 四、奇、偶函数和周期函数的导函数 例10可导奇函数的导函数是偶函数.（给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例11设f(x)是偶函数且在点x=0可导，则f"(0)=0. 正明《0)=四0二p0 -1 -e0,0.-o即0=-0. 由f"0)存在，→f0)=f(0)=f'0).→f'0)=-f'0,→f'0)=0. 简提可导周期函数的导函数为周期函数，且周期不变， 五、关于可导性的一些结果 (一)若f(x)是初等函数，则f"(x)也是初等函数， 在初等函数f(x)的定义域内，导函数f'(x)不存在的点是函数f(x)的不可导点.例如函数 )=的定义装是R,但导函数国=写在点x=0没有定义。因此点x=0是函数 f)=x的不可导点 参阅[3]P114. (仁)存在仅在一点可导的函数 例如 f)- x为无理数 0,x为有理数 该函数仅在点x=0可导 (三)存在处处连续但处处不可导的函数 十九世纪后半叶，德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数，其 后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着。其中较简单的例可参阅F. 3《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 三、曲线的吻接 曲线的吻接及其解析表达. 例 9 设          +  = +  = , 0. , 0, 2, 0, sin ( ) 2 bx c x a x x x x f x 确定 a 、 b 和 c 的值,使函数 f (x) 在点 x = 0 可导. ( a = c = 2, b = 1 ) 四、奇、偶函数和周期函数的导函数 例 10 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例 11 设 f (x) 是偶函数且在点 x = 0 可导, 则 f ( 0 ) = 0 . 证明 0 0 ( ) (0) ( ) (0) ( 0 ) lim lim t x x t f x f f t f f x t + − = − + → → − − −  = ===== − (0), ( ) (0) lim 0 − → = −  − = − − f t f t f t 即 (0) (0). + − f  = − f  由 f (0) 存在, (0) = (0) = (0),  (0) = − (0),  (0) = 0. + − f f f f f f 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. 五、关于可导性的一些结果 (一) 若 f (x) 是初等函数, 则 f (x) 也是初等函数. 在初等函数 f (x) 的定义域内, 导函数 f (x) 不存在的点是函数 f (x) 的不可导点. 例如函数 3 1 f (x) = x 的定义域是 R , 但导函数 3 2 3 1 ( ) − f  x = x 在点 x = 0 没有定义, 因此点 x = 0 是函数 3 1 f (x) = x 的不可导点. 参阅[3]P114. (二) 存在仅在一点可导的函数. 例如    = 0, . , , ( ) 2 为有理数 为无理数 x x x f x 该函数仅在点 x = 0 可导. (三) 存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其 后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅 F