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第6期 李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 .653. 体中枝晶生长的定常渐近解4)，该理论与实验数据 相一致，熔体中少量杂质的存在对枝晶生长过程有 本文以V为速度尺度，。=号为长度尺度， 着非常重要的影响，杂质在界面上的浓度变化对枝 C∞为浓度尺度，△H/(cpP)为温度尺度，对各物理量 晶附近的热力学平衡状态产生影响，进而影响着枝 分别进行量纲为1化处理，其中D为溶质扩散系 晶的界面形状，本文研究二元熔体中远场来流对枝 数，lD为溶质的扩散长度，△H为潜热，cp为熔体比 晶生长的影响，得到模型的定常渐近解， 热，P为熔体密度 假定表面张力为各向同性，考虑三维轴对称的 1模型的建立 枝晶生长情形（即各物理量对9的偏导数为零），为 考虑二元系熔体中枝晶的稳态生长，枝晶沿着 了方便，引入流函数： 1 a z轴的负方向以速度V匀速生长，如图1所示，图 中=呢切.为了方便，可使坐标系以同样的速度 知+平3” 1 随枝晶一块运动，在运动的抛物坐标系（ξ，1，P)中 aψ (3) 建立数学模型.令 呢2+形 x=7听5ncos9 其中，u={u,v,0}为液相中对流速度，涡量为ω= y=呢nsin9 0,05) ”呢刘 ,S定义为涡量函数 =系华- 枝晶生长的量纲为1控制方程如下， 热扩散方程： 其中，%为待定的常数.可以选择这个坐标系原点 股+0++册，聚》 2十 的位置，使得枝晶的前缘满足 13”-呢切(5，) %(0)=1 (2) (4) 浓度扩散方程： 对于单一枝晶的稳态生长，其液固界面形状可表示 +13G+10G=13(C,少 为=八() 是+++7- 听知(5，) (5) 5■常数 刀=常数 动量方程： U. 严电9_上2-12典=-附(+)5(6) a2+a-13n 涡量方程： 器+器開 25a(4,呢0_1a(单.5 图1在远场来流时抛物坐标系中枝晶的生长 2(,) 呢n(5,) (7) Fig.I Dendritic growth with external flow in a paraboloidal coordi- nate system 其中，1=，为液相量纲为1温度， 枝晶表面的形状及其尖端生长速度均受到温度 场、浓度场的影响，在凝固过程中熔体的温度场或 为溶剂的凝固温度，入二是飞为液相热扩散系数， 浓度场将会引起自然对流，这是由于温度或浓度的 CL=(C0为液相量绢为1浓度，C~为液相平均 不同，造成热膨胀的差异或成分的不均匀，从而引起 熔体密度的不同，这样在重力场中密度较小的熔体 浓度，Sc一出为Schmid数，v为运动黏度系数.模 DL 将受到浮力的作用，如果熔体的粘滞力小于所受浮 型的边界条件如下. 力时，熔体中就会产生对流，当然也可以在远场强 远场条件：当门∞时， 加外流或外力，强使熔体流动，本文只考虑强加外 2b呢学+（山，50 (8) 流对枝晶生长的影响，所以假定固液相密度相等，也 TL→T∞，CL→1 (9) 不考虑重力场作用，在远场强加一速度为U∞的来 流，如图1所示. 其中，远场来流参数表示为，=(1十U∞)=1十体中枝晶生长的定常渐近解［14］该理论与实验数据 相一致．熔体中少量杂质的存在对枝晶生长过程有 着非常重要的影响杂质在界面上的浓度变化对枝 晶附近的热力学平衡状态产生影响进而影响着枝 晶的界面形状．本文研究二元熔体中远场来流对枝 晶生长的影响得到模型的定常渐近解． 1 模型的建立 考虑二元系熔体中枝晶的稳态生长枝晶沿着 z 轴的负方向以速度 V 匀速生长如图1所示图 中 r＝η2 0ξη．为了方便可使坐标系以同样的速度 随枝晶一块运动在运动的抛物坐标系（ξηφ）中 建立数学模型．令 x＝η2 0ξηcosφ y＝η2 0ξηsinφ z ＝ η2 0 2 （ξ2－η2） （1） 其中η0 为待定的常数．可以选择这个坐标系原点 的位置使得枝晶的前缘满足 ηS（0）＝1 （2） 对于单一枝晶的稳态生长其液固界面形状可表示 为 η＝ηS（ξ）． 图1 在远场来流时抛物坐标系中枝晶的生长 Fig．1 Dendritic growth with external flow in a paraboloidal coordinate system 枝晶表面的形状及其尖端生长速度均受到温度 场、浓度场的影响．在凝固过程中熔体的温度场或 浓度场将会引起自然对流这是由于温度或浓度的 不同造成热膨胀的差异或成分的不均匀从而引起 熔体密度的不同这样在重力场中密度较小的熔体 将受到浮力的作用如果熔体的粘滞力小于所受浮 力时熔体中就会产生对流．当然也可以在远场强 加外流或外力强使熔体流动．本文只考虑强加外 流对枝晶生长的影响所以假定固液相密度相等也 不考虑重力场作用．在远场强加一速度为 U∞的来 流如图1所示． 本文以 V 为速度尺度lD＝ DL V 为长度尺度 C∞为浓度尺度ΔH／（ cpρ）为温度尺度对各物理量 分别进行量纲为1化处理．其中 DL 为溶质扩散系 数lD 为溶质的扩散长度ΔH 为潜热cp 为熔体比 热ρ为熔体密度． 假定表面张力为各向同性考虑三维轴对称的 枝晶生长情形（即各物理量对 φ的偏导数为零）为 了方便引入流函数： u＝ 1 η4 0ξη ξ2＋η2 ∂ψ ∂η v＝－ 1 η4 0ξη ξ2＋η2 ∂ψ ∂ξ （3） 其中u＝｛uv0｝为液相中对流速度涡量为 ω＝ 00 ζ η2 0ξη ζ定义为涡量函数． 枝晶生长的量纲为1控制方程如下． 热扩散方程： ∂2TL ∂ξ2 ＋ ∂2TL ∂η2 ＋ 1 ξ ∂TL ∂ξ ＋ 1 η ∂TL ∂η ＝ λ η2 0ξη ∂（ TLψ） ∂（ξη） （4） 浓度扩散方程： ∂2CL ∂ξ2 ＋ ∂2CL ∂η2 ＋ 1 ξ ∂CL ∂ξ ＋ 1 η ∂CL ∂η ＝ 1 η2 0ξη ∂（CLψ） ∂（ξη） （5） 动量方程： ∂2ψ ∂ξ2＋ ∂2ψ ∂η2－ 1 ξ ∂ψ ∂ξ － 1 η ∂ψ ∂η ＝－η4 0（ξ2＋η2）ζ（6） 涡量方程： SC ∂2ζ ∂ξ2＋ ∂2ζ ∂η2－ 1 ξ ∂ζ ∂ξ － 1 η ∂ζ ∂η ＝ 2ζ η4 0ξ2η2 ∂（ψη2 0ξη） ∂（ξη） － 1 η2 0ξη ∂（ψζ） ∂（ξη） （7） 其中TL＝ （ TL）D－ T M ΔH／（ cpρ） 为液相量纲为1温度T M 为溶剂的凝固温度λ＝ DL κL κL 为液相热扩散系数 CL＝ （CL）D C∞ 为液相量纲为1浓度C∞ 为液相平均 浓度SC＝ υ DL 为 Schmidt 数υ为运动黏度系数．模 型的边界条件如下． 远场条件：当 η→∞时 ψ～ 1 2 λ0η4 0ξ2η2＋o（1）ζ→0 （8） TL→ T ∞CL→1 （9） 其中远场来流参数表示为 λ0＝（1＋ U∞）＝ 1＋ 第6期 李向明等： 在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 ·653·