.654 北京科技大学学报 第30卷 U∞ ,T∞为远场量纲为1温度 参数：一在坐标系（代，刃中，因为界面函数为 正则条件：当门0时， =0(1),则 Ts÷0(1),Cs→0(1) (10) (18) 枝晶前缘的对称条件：当=0，>1时， 5(可=g=0(9 -器-器器=0 令 (11) 2 (,,e)=如er+(,,e) 枝晶的界面条件：由于在凝固过程中，枝晶生长 的界面形态及位置并未确定，为一个自由边界问题， 5(o,t,e)=e2(o,t,e) 因此，在对模型求解时需要确定界面函数”= (,e)=T+27(a,) (19) ”()·如果假定在界面处满足局部热动力学平衡， 且枝晶沿着界面法线方向生长，则在界面=() G(o,,)=1+C(o,t) 处可得到如下条件， 代入方程(4)~(7)后，得到： 温度连续性条件： T1=Ts=TL (12) 语+票+要+要 d t Gibbs一Thomson条件： {语明 e(T1, T,=-2沿-MGL +2(o,) (20) (13) +要+9- 6a号+a之+G+ 热平衡条件： 器《器+)=0 (14) {-阴+8爵 2(o,) (21) 溶质守恒条件： a。2+ra =-(十)S (22) (1-)()0+9-ニ=0(5) 器+-器器 质量守恒条件： 瑞+ gea西，S +%n(+4)=0(16) 2(o,t) (23) 界面切向速度连续性条件： 模型的边界条件如下， 3器《浩+嗜机（钱一）=0 远场条件：当t∞时， (17) 00,?0 (24) 其中，一台为表面张力参数，k为毛细长度，K为 TL→0，CL0 (25) 对称条件：当σ=0，D1时， mCoo 界面平均曲率，M=一△Hc,9,m为平衡相图中 -8-是-0 (26) 液相线斜率，k为溶质分离系数· 界面条件：当=飞（σ）时， 2模型求解 TL+MC=一E(M+To) (27) 实验表明：在枝晶生长的演化后期，其前缘以稳 (十3)十5元 =0(28) 定速度V长入熔体[3.如Ivantsov所作，假定表 (1-)C(+飞)十(1-k)(+飞)十 面张力系数为零，求得二元系中有强加来流时枝晶 生长的稳态解。为了简便，可作如下变换： =0 (29) g= 2Sc e2isar +2 8(s+)=0(30) 呢如平 2Sc &所(1-5)=0 本文考虑Schmidt数Sc>1的情形，可选取小 (31)U∞ V ‚T ∞为远场量纲为1温度． 正则条件：当 η→0时‚ TS→ O（1）‚CS→ O（1） （10） 枝晶前缘的对称条件：当ξ＝0‚η＞1时‚ ψ＝ζ＝ ∂ψ ∂ξ ＝ ∂ψ ∂η ＝ ∂ζ ∂η ＝ ∂ζ ∂ξ ＝0 （11） 枝晶的界面条件：由于在凝固过程中‚枝晶生长 的界面形态及位置并未确定‚为一个自由边界问题． 因此‚在对模型求解时需要确定界面函数 η＝ ηS（ξ）．如果假定在界面处满足局部热动力学平衡‚ 且枝晶沿着界面法线方向生长‚则在界面 η＝ηS（ξ） 处可得到如下条件． 温度连续性条件： T1＝ TS＝ TL （12） Gibbs－Thomson 条件： TS＝－ 2ΓK η2 0 － MCL （13） 热平衡条件： ∂TL ∂η －η′S ∂TL ∂ξ ＋λη2 0（ξηS）′＝0 （14） 溶质守恒条件： （1－k）η2 0（ξηS）′CL＋ ∂CL ∂η －η′S ∂CL ∂ξ ＝0 （15） 质量守恒条件： － η′S ∂ψ ∂η ＋ ∂ψ ∂ξ ＋η4 0ξηS（ξη′S＋ηS）＝0 （16） 界面切向速度连续性条件： ∂ψ ∂η －η′S ∂ψ ∂ξ ＋η4 0ξηS（ξη′S－ξ）＝0 （17） 其中‚Γ＝ lc lD 为表面张力参数‚lc 为毛细长度‚K 为 界面平均曲率‚M＝－ mC∞ ΔH／（ cpρ） ‚m 为平衡相图中 液相线斜率‚k 为溶质分离系数． 2 模型求解 实验表明：在枝晶生长的演化后期‚其前缘以稳 定速度 V 长入熔体［3－4］．如 Ivantsov 所作‚假定表 面张力系数为零‚求得二元系中有强加来流时枝晶 生长的稳态解．为了简便‚可作如下变换： σ＝ η2 0λ0 2SC ξ2 τ＝ η2 0λ0 2SC η2 ． 本文考虑 Schmidt 数 SC≫1的情形‚可选取小 参数ε＝ 1 SC ．在坐标系（ξ‚η）中‚因为界面函数为 ηS＝ O（1）‚则 τS（σ）＝ η2 0λ0ε 2 η2 S＝ O（ε） （18） 令 ψ（σ‚τ‚ε）＝ 2 λ0ε2στ＋ψ（σ‚τ‚ε） ζ（σ‚τ‚ε）＝ε2λ2 0ζ（σ‚τ‚ε） TL（σ‚τ‚ε）＝ T ∞＋ 1 ε TL（σ‚τ‚ε） CL（σ‚τ‚ε）＝1＋ 1 ε CL（σ‚τ‚ε） （19） 代入方程（4）～（7）后‚得到： σ ∂2TL ∂σ2 ＋τ ∂2TL ∂τ2 ＋ ∂TL ∂σ ＋ ∂TL ∂τ ＝ λ ε σ ∂TL ∂σ －τ ∂TL ∂τ ＋ λλ0ε 2 ∂（ TL‚ψ） ∂（σ‚τ） （20） σ ∂2CL ∂σ2 ＋τ ∂2CL ∂τ2 ＋ ∂CL ∂σ ＋ ∂CL ∂τ ＝ 1 ε σ ∂CL ∂σ －τ ∂CL ∂τ ＋ λ0ε 2 ∂（CL‚ψ） ∂（σ‚τ） （21） σ ∂2ψ ∂σ2＋τ ∂2ψ ∂τ2＝－（σ＋τ）ζ （22） σ ∂2ζ ∂σ2＋τ ∂2ζ ∂τ2＝σ ∂ζ ∂σ －τ ∂ζ ∂τ － λ0ζε2 2τσ τ ∂ψ ∂τ －σ ∂ψ ∂σ － λ0ε2 2 ∂（ψ‚ζ） ∂（σ‚τ） （23） 模型的边界条件如下． 远场条件：当 τ→∞时‚ ψ→0‚ζ→0 （24） TL→0‚CL→0 （25） 对称条件：当 σ＝0‚η＞1时‚ ψ＝ζ＝ ∂ψ ∂τ ＝ ∂ζ ∂τ ＝0 （26） 界面条件：当 τ＝τS（σ）时‚ TL＋ M CL＝－ε（ M＋ T ∞） （27） λ（στ′S＋τS）＋λ0 τS ∂TL ∂τ －στ′S ∂TL ∂σ ＝0（28） （1－k） CL（στ′S＋τS）＋ε（1－k）（στ′S＋τS）＋ ελ0 τS ∂CL ∂τ －στ′S ∂CL ∂σ ＝0 （29） ε2 τ′S ∂ψ ∂τ ＋ ∂ψ ∂σ ＋2 λ0－1 λ2 0 （τS＋στ′S）＝0 （30） ε2 τS ∂ψ ∂τ －στ′S ∂ψ ∂σ ＋2 λ0－1 λ2 0 στS（1－τ′S）＝0 （31） ·654· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷