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第6期 李向明等：在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 655. 由式(18)、(20)、(21)知，这是一个奇异边界问 其中，待定参数有： 题.Xu求得了关于流场满足方程(22)和(23)在条 Yo(e)>Yh1(e)>.… 件(24)、(30)和(31)下的一致有效的渐近解1]： 月(e)>月(e)>… (39) g+2a0 克oa= 20十me垢[0(a,)-(]十… 8(e)>d1(e)>… 5=2。-g 把式(38)中各级解展成Sonine序列： lneo+e+… (32) n(可s9(o) =0 4n-2g5-2如0-1· e号ne话[l血t一lh0,o)+0,0-可+… CL= E.(s9(g (40) n=0 品(w-+… hm= s9(可) n=0 (33) s(o)为Sonine多项式，s9(o)f(n=0,1,2,…) 在所有的流场模型中，式(32)和(33)与实验数 是完备的正交函数集.把式(39)和(40)代入式(20) 据对应得最好.又由界面波理论知：浓度场、温度场 和(21)可求得方程的各级解. 的边界层与流场的边界层厚度相同，且它们的变化 2.1 温度场TL,与浓度场CL,的解 主要发生在边界层里，因此可用流场内解(33)来确 由(27)可知Y%(e)=B(e)=e,温度场、浓度场 定浓度场与温度场的解.式(33)中={，由式(2) 方程变为： d2 Do.o 1 和(19可得到气9=。=位=0().界面函数 入dDn.0=0 di2 (7 (41) d2E0.0+ 1七 1 可写为： dE00=0 (42) (o)=o十hs() (34) D0,n=E0,n=0（n=1,2,…) (43) 其中，待定函数s()满足条件|s<0,s(0)= 结合式(34)，对式(28)和(29)在t=0.0上进行 0. Taylor展开，保留首级项后有条件： 一般地，0与e有关，对0、t0作如下展开： Do.0+ME0.0+Too+M=0 (44) 1o(e)=lo.0十o(e) 6o+号=0 (45) (35) o(e)=0,0十t0(e) E6o十+Ba-=0 (46) 其中，0.0= g呢.0 2 结合条件(25)可求得方程(44)~(45)满足方程 (45)和(46)的解： ho(e)=6o(e){o,1+eo,2十…} (36) 9 o(e)=do(e)10,1十0.2十} T1=Do.0-A0 e (47) 参数(e)<1,待定. 0 eb三 设 CL,=E0,0= (48) TL(0,t,E)=TL(a,t,E) M h.0 -eb三1 T0.0 (37) (1-k)0,0 入0 CL(0,t,E)=CL(o,t,E) 对TL(o,T,e)、CL(o,t,e)和h(o)作如下渐 其中a(=广d 近展开： 由式(44)、(47)和(48)得到如下关系： TL=o(e)T.十1(e)TL,十… .0 Me三 T0.0 C=B(e)C,十月(e)CL,+… (38) .0 0,0 h=do(e)ho(o)+d(e)h1(o)十… (1-k)0,0由式（18）、（20）、（21）知这是一个奇异边界问 题．Xu 求得了关于流场满足方程（22）和（23）在条 件（24）、（30）和（31）下的一致有效的渐近解［15］： ψout＝ 2σ ε 2 τ λ0 ＋ 2σ ε 2lnε λ0－1 λ 2 0 ［ψ∗0（στ）－Ξ2（τ）］＋… ζout＝ 2（λ0－1） lnε σ σ＋τ e －τ＋… （32） ψin＝ 2σ ε τ ＾ λ 2 0 － 2σ εlnε λ0－1 λ 2 0 ［τ ＾ （lnτ ＾－lnτ ＾ 00）＋τ ＾ 00－τ ＾ ］＋… ζin＝ 2σ lnε （λ0－1）＋… （33） 在所有的流场模型中式（32）和（33）与实验数 据对应得最好．又由界面波理论知：浓度场、温度场 的边界层与流场的边界层厚度相同且它们的变化 主要发生在边界层里因此可用流场内解（33）来确 定浓度场与温度场的解．式（33）中 τ ＾＝ τ ε 由式（2） 和（19）可得到 τ ＾ S（0）＝τ ＾ 0＝ η2 0λ0 2 ＝ O（1）界面函数 可写为： τ ＾ S（σ）＝τ ＾ 0＋h ＾ S（σ） （34） 其中待定函数 h ＾ S （σ）满足条件｜h ＾ S｜≪τ ＾ 0h ＾ S （0）＝ 0． 一般地η0 与ε有关对 η0、τ ＾ 0 作如下展开： η0（ε）＝η00＋η ～ 0（ε） τ ＾ 0（ε）＝τ ＾ 00＋τ ～ 0（ε） （35） 其中τ ＾ 00＝ λ0η2 00 2 ． η ～ 0（ε）＝δ ＾ 0（ε）｛η01＋εη02＋…｝ τ ～ 0（ε）＝δ ＾ 0（ε）｛τ ＾ 01＋ετ ＾ 02＋…｝ （36） 参数 δ ＾ 0（ε）≪1待定． 设 T ＾ L（στ ＾ε）＝ TL（στε） C ＾ L（στ ＾ε）＝CL（στε） （37） 对 T ＾ L（στ ＾ε）、C ＾ L（στ ＾ε）和 h ＾ S （σ）作如下渐 近展开： T ＾ L＝γ ＾ 0（ε） T ＾ L0＋γ ＾ 1（ε） T ＾ L1＋… C ＾ L＝β ＾ 0（ε） C ＾ L0＋β ＾ 1（ε） C ＾ L1＋… h ＾ S＝δ ＾ 0（ε） h ＾ 0（σ）＋δ ＾ 1（ε） h ＾ 1（σ）＋… （38） 其中待定参数有： γ ＾ 0（ε）≫γ ＾ 1（ε）≫… β ＾ 0（ε）≫β ＾ 1（ε）≫… δ ＾ 0（ε）≫δ ＾ 1（ε）≫… （39） 把式（38）中各级解展成 Sonine 序列： T ＾ L m ＝ ∑ ∞ n＝0 D ＾ mn（τ ＾ ） S （1） n （σ） C ＾ L m ＝ ∑ ∞ n＝0 E ＾ mn（τ ＾ ） S （1） n （σ） h ＾ m ＝ ∑ ∞ n＝0 h ＾ mnS （1） n （σ） （40） S （1） n （σ）为 Sonine 多项式｛S （1） n （σ）｝（ n＝012…） 是完备的正交函数集．把式（39）和（40）代入式（20） 和（21）可求得方程的各级解． 2∙1 温度场 T ＾ L0与浓度场 C ＾ L0的解 由（27）可知 γ ＾ 0（ε）＝β ＾ 0（ε）＝ε温度场、浓度场 方程变为： d 2D ＾ 00 dτ ＾2 ＋ 1 τ ＾ ＋ λ λ0 d D ＾ 00 dτ ＾ ＝0 （41） d 2E ＾ 00 dτ ＾2 ＋ 1 τ ＾ ＋ 1 λ0 d E ＾ 00 dτ ＾ ＝0 （42） D ＾ 0n＝ E ＾ 0n＝0 （ n＝12…） （43） 结合式（34）对式（28）和（29）在 τ ＾ ＝τ ＾ 00上进行 Taylor 展开保留首级项后有条件： D ＾ 00＋ ME ＾ 00＋ T ＾ ∞＋ M＝0 （44） D ＾′00＋ λ λ0 ＝0 （45） E ＾′00＋（1＋ E ＾ 00） 1－k λ0 ＝0 （46） 结合条件（25）可求得方程（44）～（45）满足方程 （45）和（46）的解： T ＾ L0＝ D ＾ 00＝ λτ ＾ 00 λ0 e λτ ＾ 00 λ0 Ξ1 λτ ＾ λ0 （47） C ＾ L0＝ E ＾ 00＝ e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ λ0 λ0 （1－k）τ ＾ 00 －e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 （48） 其中Ξ1（τ）＝∫ ∞ 1 e －τu u d u． 由式（44）、（47）和（48）得到如下关系： T ∞＝－ Me τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 λ0 （1－k）τ ＾ 00 －e τ ＾ 00 λ0 Ξ1 τ ＾ 00 λ0 － 第6期 李向明等： 在强加来流作用下二元系中枝晶生长的稳态解 ·655·