2006春季球 戋性代数第8章二次型 f(x1,x2,…,xn) 12 1 2n x 15~2,,n 2 X AX 二次型的矩阵表达式∫(x1,x2,…,xn)=XAX中 的矩阵A叫二次型的矩阵 它是一个对称矩阵.其中=an,即满足A=A 二次型矩阵A的秩称为二次型的秩 例1二次型 f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为 82矩阵的合同 设A,B是两个n阶矩阵,若存在可逆方阵P,使 得PAP=B,则称B与A合同 合同有以下三个性质: (1)自反性:任意方阵A和自身合同; (2)对称性:若方阵B和A合同,则A和B也合同; (3)传递性:若方阵B和A合同,方阵C和B合同, 则C和A合同.2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—2 ( , , , ) x1 x2 xn f L ＝( , , , ) x1 x2 L xn ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n nn n n a a a a a a a a a L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ xn x x M 2 1 ＝ X AX T ． 二次型的矩阵表达式 f (x1 , x2 ,L, xn )＝ X AX T 中 的矩阵 A叫二次型的矩阵． 它是一个对称矩阵．其中 ij ji a = a ，即满足 A A． T = 二次型矩阵 A的秩称为二次型的秩． 例 1 二次型 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 的秩为 ． 8.2 矩阵的合同 设 A,B是两个n阶矩阵，若存在可逆方阵 ，使 得 ，则称 与 合同． P P AP B T = B A 合同有以下三个性质： （１） 自反性：任意方阵 A和自身合同； （２） 对称性：若方阵B和 A合同，则 A和B也合同； （３） 传递性：若方阵B和 A合同，方阵C 和 合同， 则 B C 和 A合同．