2006春季球 戋性代数第8章二次型 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵A和B来说, 如果存在可逆矩阵P和可逆矩阵Q,使得B=PAQ, 则A和B等价.而矩阵的相似是对方阵说的,两个同 阶的矩阵A和B,如果存在可逆矩阵P,使得 B=P-AP,则A和B相似.矩阵的合同也是对方 阵说的,两个同阶的矩阵A和B,如果存在可逆矩阵 P,使得B=P1AP,则A和B合同.由此可见,相 似的矩阵一定等价,合同的矩阵也一定等价.等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩,因此,相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩.显然,等价的矩阵不 定相似,等价的矩阵也不一定合同 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似.一个是可逆矩阵的逆,另一个是可逆矩阵的转 置.这是两个不同的概念,千万不要混淆.相似的矩 阵不一定合同,合同的矩阵也不一定相似.只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时,则有 B=P AP= P AP, 这时,A和B既相似又合同.实对称矩阵就有这个性 质,对任意实对称矩阵,都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—3 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵 和 来说， 如果存在可逆矩阵 和可逆矩阵Q，使得 A B P B = PAQ， 则 和 等价．而矩阵的相似是对方阵说的，两个同 阶的矩阵 和 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 ，则 和 相似．矩阵的合同也是对方 阵说的，两个同阶的矩阵 和 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 A B A B P B P AP −1 = A B A B P B P AP T = ，则 和 合同．由此可见，相 似的矩阵一定等价，合同的矩阵也一定等价．等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩，因此，相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩．显然，等价的矩阵不 一定相似，等价的矩阵也不一定合同． A B 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似．一个是可逆矩阵的逆，另一个是可逆矩阵的转 置．这是两个不同的概念，千万不要混淆．相似的矩 阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似．只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时，则有 B P AP −1 = P AP T = ， 这时， 和 既相似又合同．实对称矩阵就有这个性 质，对任意实对称矩阵，都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同． A B