第6期 方锦清等:网络科学中统一混合理论模型的若干研究进展 p(t)<1,属于随机性增长a为变速指数,依a不积度分布:既有幂律分布,又有双广延( (stretched) 同值分为正常(a=0)、加速(0<a<1)和超加指数分布,分别取决于3个混合比和变速方式中 速(α≥1)等多种情形.这样,第3部曲就能够把概率大小.广延指数分布定义为s 各种实际网络增长过程中变速的特点仔细描述进 去,这样的增长方式具有多样性,可在任何情形下 P(k) 对 LUHVGS网络研究两种:随机性与确定性变速这里ho是参数,c称广延指数,双广延指数分布是 增长的特性例如,在式(8)中当p为概率变化时指曲线具有两段不同广延指数c1和c2而联系在 于随机性增长图象,而当p为常数时则为确定起的广延指数分布对于广延指数分布当c=1 性增长图像混合比vg体现了两种图像的混合增就是通常的指数分布当c→0时它转变为幂律分 长,显然,第3部曲把各种实际网络中存在着变速布对于0<c<1它介于幂律分布(无标度,SF) 的特点包含在内,这使第3部曲模型比前两部曲和广延指数分布(SED)之间如果c比较小则它 模型理论更趋于完善,并且已经发现了一些网络具有比较大的无标度区域,越接近SF.已经发现 特性新的特点和复杂的转变关系 在a比较小(a=0.3)时,对于d3种基本模式:总 331累积度分布P(k)在无标度SF和广延指数混合比是确定性占主导(b=4/1,49/1)、两者相当 分布之间的转变 (dr=1/1)和随机性混合占主导(dr=1/49,1/4), 累积度分布P()=∑以(k)是一个重要的累积度分布P()仍然是幂律分布这说明小的a 对具有幂律分布的累积度分布P(k)基本上没有什 拓扑量,它表示网络中度大小不小于k的节点的么影响但是随着a增加(如0.6,0.9),P(k)却都 概率分布能够很有效地减少统计涨落的影响,并出现双广延指数分布,见图5(b().图5中3个插 揭示出许多隐藏在统计涨落之中的统计规律和本图为对应的幂律指数?及广延指数c随山变化 质.其中p(k)表示度分布,k与k都是节点度的表3种指数随山变化各不相同 示形式.图3示出在固定混合比fd=0/1和gr=0/1 从图5可见,γ随dr增加而增加,广延指数 情形下对于3种不同增长指数a时累积度分布c随d增加可出现极值(最大或最小),密切依赖 P(,其中(a)a=0不考虑变速:(b)a=03和(c)于a增加;随a变化网络的拓扑特性则可在幂律 a=06.图中插图分别为对应于幂律指数及广延指分布和广延指数分布之间转变,具体转变类型完 数随k的变化,显然3种情形各不相同.当没有变全取决于混合比和指数a数值或变速增长方式 速(a=0)增长时,不管d怎么变化,P(k)分布出并且双广延指数分布的转变点就在dr=1/1.如果 现幂律分布:P(k)~k-7,即网络出现无标度特性.fd=0.4/1(扶贫比例小)和gr=1/1(一般随机性连接 如果考虑式(8)中变速指数a=0.3和p(t)为随机占主导),并采用一般随机连接方式或确定性变速 概率增长时,图5(b)显示随着d变化出现两种累增长下,仍然出现与图5类似的累积度分布 dr=1/49 dr=1/4 10-3dr-49 (a)a=0(不考虑变速) (b)a=0.3 c)a=0.6 图5对于固定fd=0/1和gr=0/1情形,累积度分布P(k)与k.插图为对应的幂律指数?及广延 指数c随dr变化,3种情形各不相同第 6 期 方锦清等 : 网络科学中统一混合理论模型的若干研究进展 673 p(t) < 1, 属于随机性增长;α 为变速指数, 依 α 不 同值分为正常 (α ＝０)、加速 (0 < α < 1) 和超加 速 (α ≥ 1) 等多种情形. 这样, 第 3 部曲就能够把 各种实际网络增长过程中变速的特点仔细描述进 去, 这样的增长方式具有多样性, 可在任何情形下 对 LUHVGS 网络研究两种: 随机性与确定性变速 增长的特性. 例如, 在式 (8) 中当 p 为概率变化时 属于随机性增长图象, 而当 p 为常数时则为确定 性增长图像. 混合比 vg 体现了两种图像的混合增 长, 显然, 第 3 部曲把各种实际网络中存在着变速 的特点包含在内, 这使第 3 部曲模型比前两部曲 模型理论更趋于完善, 并且已经发现了一些网络 特性新的特点和复杂的转变关系. 3.3.1 累积度分布 P(k) 在无标度 SF 和广延指数 分布之间的转变 累积度分布 P(k) = P∞ k 0=k p(k 0 ) 是一个重要的 拓扑量, 它表示网络中度大小不小于 k 的节点的 概率分布, 能够很有效地减少统计涨落的影响, 并 揭示出许多隐藏在统计涨落之中的统计规律和本 质. 其中 p(k) 表示度分布, k 与 k 0 都是节点度的表 示形式. 图 3 示出在固定混合比 f d=0/1 和 gr=0/1 情形下对于 3 种不同增长指数 α 时累积度分布 P(k), 其中 (a) α=0(不考虑变速); (b) α=0.3 和 (c) α=0.6, 图中插图分别为对应于幂律指数及广延指 数随 k 的变化, 显然 3 种情形各不相同. 当没有变 速 (α=0) 增长时, 不管 dr 怎么变化, P(k) 分布出 现幂律分布: P(k) ∼ k −γ , 即网络出现无标度特性. 如果考虑式 (8) 中变速指数 α=0.3 和 p(t) 为随机 概率增长时, 图 5(b) 显示随着 dr 变化出现两种累 积度分布: 既有幂律分布, 又有双广延 (stretched) 指数分布, 分别取决于 3 个混合比和变速方式中 概率大小. 广延指数分布定义为 [58] P(k) = e −(k/k0) c (9) 这里 k0 是参数, c 称广延指数, 双广延指数分布是 指曲线具有两段不同广延指数 c1 和 c2 而联系在 一起的广延指数分布. 对于广延指数分布当 c = 1 就是通常的指数分布. 当 c →0 时它转变为幂律分 布. 对于 0 < c < 1 它介于幂律分布 (无标度, SF) 和广延指数分布 (SED) 之间. 如果 c 比较小, 则它 具有比较大的无标度区域, 越接近 SF. 已经发现: 在 α 比较小 (α=0.3) 时, 对于 dr 3 种基本模式: 总 混合比是确定性占主导 (dr = 4/1, 49/1)、两者相当 (dr = 1/1) 和随机性混合占主导 (dr = 1/49, 1/4), 累积度分布 P(k) 仍然是幂律分布, 这说明小的 α 对具有幂律分布的累积度分布 P(k) 基本上没有什 么影响. 但是随着 α 增加 (如 0.6, 0.9), P(k) 却都 出现双广延指数分布, 见图 5(b)(c). 图 5 中 3 个插 图为对应的幂律指数 γ 及广延指数 c 随 dr 变化, 3 种指数随 dr 变化各不相同. 从图 5 可见, γ 随 dr 增加而增加, 广延指数 c 随 dr 增加可出现极值 (最大或最小), 密切依赖 于 α 增加; 随 α 变化网络的拓扑特性则可在幂律 分布和广延指数分布之间转变, 具体转变类型完 全取决于混合比和指数 α 数值或变速增长方式. 并且双广延指数分布的转变点就在 dr=1/1. 如果 f d=0.4/1(扶贫比例小) 和 gr=1/1(一般随机性连接 占主导), 并采用一般随机连接方式或确定性变速 增长下, 仍然出现与图 5 类似的累积度分布. 图 5 对于固定 f d=0/1 和 gr=0/1 情形, 累积度分布 P(k) 与 k. 插图为对应的幂律指数 γ 及广延 指数 c 随 dr 变化, 3 种情形各不相同