f(X)=f(∑xE,)=∑xf() f(E1),i= 则 f(x)=a,x,+a2x2+.+a,x 就是上述形式 例2A是数域P上一个n级矩阵,设 A 21 则A的迹 7r(A) 是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pm上的一个线性函数 例3设=P[x],t是P中一个取定的数定义Px]上的函数L,为 L (P(x))=p(0), P(xEPx] 即L(p(x)为p(x)在t点的值,L1(p(x)是Px上的线性函数 如果V是数域P上一个n维线性空间取定V的一组基1E2…,En对V上任 意线性函数∫及V中任意向量a: x,atx 都有 f(E;) 因此,f(a)由∫(1),f(2)…,f(En)的值唯一确定.反之,任给P中n个数 a12a2…,an,用下式定义V上一个函数f  = = = = n i i i n i i i f X f x x f 1 1 ( ) (  ) ( ) 令 a f ( ), i 1 2 n , i =  i = ，，， 则 n n f X = a x + a x ++ a x 1 1 2 2 ( ) 就是上述形式. 例 2 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵，设               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 , 则 A 的迹 Tr A = a11 + a22 ++ ann ( ) 是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间 n n P  上的一个线性函数. 例 3 设 V = P[x],t 是 P 中一个取定的数.定义 P[x] 上的函数 Lt 为 L (P(x)) p(t) , p(x) P[x] t =  , 即 L ( p(x)) t 为 p(x) 在 t 点的值， L ( p(x)) t 是 P[x] 上的线性函数. 如果 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.取定 V 的一组基 n  , , , 1 2  .对 V 上任 意线性函数 f 及 V 中任意向量  ： n n  = x  + x  ++ x  1 1 2 2 都有   = = = = n i i i n i i i f f x x f 1 1 () (  ) ( ) . (2) 因此， f () 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f  f   f  的值唯一确定.反之， 任给 P 中 n 个数 a a an , , , 1 2  ，用下式定义 V 上一个函数 f ：