(n+1) R=I-In=(f(x)-Pn(x)dx (5) (n+1) I(-xiXdx 其中占∈[a,b且与x有关。 定理2:具有n+1个节点的数值求积公式 I=(x)≈∑4f(x)=L k=0 是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少 具有n次代数精度 证明:(充分性)设求积公式具有n次代数精度 那么该求积公式对次数不超过n的多项式准确成 立,而l(x),(i=0,1;…,n)都是次数不超过n的多 项式,则有: b 1(x)(x=∑44(x)=41(x)=4 k 故该求积公式是插值型的求积公式。 (必要性)设该求积公式是插值型的,设次数不 超过m的多项式为∫(x),则有: R,=I-I=U(x)-P,(x)dx n+1 (x-x;d=0 (n+1) 说明公式具有至少n次代数精度。x x dx n f R I I f x P x dx b a n i i n b a n n  n  = + − + = − = − = 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ( ) ( ))  其中  [a,b] 且与 x 有关。 定理 2：具有 n + 1 个节点的数值求积公式 n n k k k b a I = f x dx  A f x = I  =0 ( ) ( ) 是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少 具有 n 次代数精度。 证明：（充分性） 设求积公式具有 n 次代数精度， 那么该求积公式对次数不超过 n 的多项式准确成 立，而 ( ), ( 0,1, , ) i l x i n = 都是次数不超过 n 的多 项式，则有： 0 ( ) ( ) ( ) n b i k i k i i i i a k l x dx A l x Al x A =  = = =  故该求积公式是插值型的求积公式。 （必要性） 设该求积公式是插值型的，设次数不 超过 n 的多项式为 f (x) ，则有： ( ) 0 ( 1)! ( ) ( ( ) ( )) 0 ( 1) − = + = = − = −    = + x x dx n f R I I f x P x dx b a n i i n b a n n n  说明公式具有至少 n 次代数精度