第86讲曲线积分计算法(2) 375 四、平面上曲线积分与路径无关的条件 若函数P(Gx,y),Q(x,y)及,迎在单连通区域D上连续则以下4个命题相互等价 1)曲线积分Pdx+Qdy与路径无关,只与位于D中的起点A与终点B有关; (2)对D内任意一点(x,y),有 ap R (3)沿D内的任意光滑或逐段光滑的闭曲线l,有Pdx+ady=0 (4)在D内存在一个函数u(x,y),使da=Pdx+Qdy 当上述四个等价命题之一成立时, Stx,, 1) (x.v) u(T,y P(r,y)dr P(r,yo)dx+Q(r, y)dy, (86.1) u( Q(ro,y)dy+P(r,y)dr (86.2) AAx. '. 在公式(86.1)中积分路径为折线MRM在公式(86.2)中积分 86-6 路径为折线M。SM 注意①积分路径即折线MRM或MSM应全部位于上述的域D内;②求n(x,y)时, 用公式(1)还是公式(2),应根据点(x,y)函数P(x,y)及Q(x,y)来考虑,计算时越简单越 好;③当点(0,0)位于域D内时,通常取(x0,y)=(0,0),计算简单 (3.4) 例9证明积分 6ry2-y)dr +(6.r'y (3,4) 与路径无关,并计算积分值 解这里P=6xy2-y2,Q=6x2y-3xy2,因为 (3,2) a=12xy-3y2 ap 所以积分与路径无关,如左图,取从点(1,2)到点(3,2)再到点 3,4)的折线积分,得 图 86-7 原式=(24x-8)dx+(54y-9y)dy=236 例10验证:在整个xOy面内,(2 rosy+ y-cosr)dx+(2 sinr- T SIny)dy是某 个函数的全微分,并求出这样一个函数. 解这里P=2 ICos y+ y"cost,Q=2yinx- r" y,因为 = 2ycos r -2rsiny= 在xOy面内恒成立,因此在xOy面内(2 cosy+ y"cosr)dx+(2 viN. r-x2siny)dy是某个 函数的全微分.这时,积分与路径无关,取积分路线如图86-8所示,积分得 ,y) .(2xcosy y"cos.r )dx +(2 ysinr -r'siny )dy 2rdx +(2ysinr -r'siny)dy