线性代数重点难点30讲 (A1+B)[A(A+B)B] 右分配律 A-1A(A+B)B+BA(A+B)B 逆阵定义 (A+B)B+B-A(A+B)B (E+BA(A+B)B 逆阵定义 (BB+BA(A+B)B 左分配律 B(B+A(A+B)B BB 故A1+B1可逆,且(A1+B-1)1=A(A+B)B 同理有B(A+B)1A(A-1+B1)=B(A+B)+B(A+B)AB B(A+B)(E = B(A +B)(B+A)B=E 故 1)1=B(A+B)1A 例5设A可逆,求(A)1 解由AA/·知:A=1A1A1.从而由性质5得 (A)1=(A1A2)=74(A-1) A 例6已知矩阵A满足关系式A2+2A-3E=O.求(A+4E)-1 解欲求(A+4E)1,设法凑出因子A+4E 由A2+2A-3E=0得A2-16E2+2A+13E=O,即 (A+4E)(A-4E)+2(A+4E)+5E=O,或(A+4E)(A-2E)=-5E 即有(A+4E(3E-34)=E,由定义知(A+4)=3E-3A 注意例6的解题思路是:从已知的关系式的代数和中分解出要证明的可逆矩阵因子, 并把其写成要证的可逆矩阵与某些矩阵的乘积等于E的形式,再由定义既能判断方阵的可 逆性,又能求出逆矩阵这种求逆法称为“和化积”法 100 例7设A=2300 ,且B=(E+A)(E-A),求(E+B) 0-450 解显然A和A+E均可逆(因为|A|=105,|A+E|=384) 因B+E一(A+E)(E-A)+E