ri卡k),其中的III为矩阵的模，对任意矩阵A,定义为HAI=SUPI川AXI川。 f I x I I 1 注1可以证明 IXA(t)CkXklbxXxlX: (3) 注2如果存在正定对称矩阵Cx使得 入〔Axx(t)CK+CKAKK(t)≤-入K<0 则取C=太C,便可使(1)满是。 注3不难证明，对任意mx·矩阵A有 I|A川=V入max(ATA) 定理1在假设(I)(I)之下，如果矩阵 -1 2b12…2b1i, D= 2b21 -1 …2b2r …… 0:中来 2br1 2b,2 -1 稳定（即D之特征值皆有负实部），则系统(1)之零解渐近稳定。 证明对弧立子系统 立x=AKK(t)Xx (4) 取Liapunov函数Vx=XCKXK,则 XA+A(C 所以弧立子系统的零解渐近稳定。Vx沿(1)之轨线求全导数，则有 oX[crAu0+Aic]Xr+2X灯A,ce: ≤-1lXxl川2+22bx1l|Xxll1X,ll(k=1,…,r) (5) 即得到了 (6) (矩阵A≥0，A≥B的定义可参看(4)。 由于D是稳定的Metzler矩阵，所以可找到正对角矩阵C=diag(C:,…,C,)使得DTC+ CD负定。作二次型 v-含c-c,c) 则V在R中正定，且从(6)有 器osce("0rp(I) =xxrcg]i> 102， 斗 ， 其 中的 日 · 日为矩阵的模 ， 注 可 以证 明 对任意矩 阵， 定义 为 气黔引 日 。 丁 蕊 ， 《 日 日日 ， 注 如 果存在 正定对称 矩 阵 刃 使得 入〔 孟 刃 刃 〕 《 一 入 则取 仗 注 定理 口 ， 便可 使 满足 。 不难证 明 ， 对 任意 矩 阵 有 侧仄丽认灭 助 在假设 之下 ， 如 果 矩阵 一 ， · “ · ， ，、 … ， 一 … … ， 二 几 … …… ， · · · · · · 一 ‘ · 稳定 即 之特 征值 皆有负实部 ， 识 系统 之零解渐近稳定 。 证 明 对弧立子 系统 尤 ‘ ‘ 取 函数 走 ， 则 二 ， 。 ， 、 ， ， ， 、 。 二 ， 豆万 ， 、 一 云 七 八 灭‘ ， 八 元 气‘ ，与 、 一 ，人 一 气任， ‘ 所 以 弧立 子系统的零解渐近稳定 。 ‘ 沿 ‘ 之轨线求全导数 ， 则有 袋 ， ， 、 「 · 二 卜 · · 、 ， ‘ 司 艺 百 乏 是 《 一 日 川 “ 艺 ， 日 川 日 二 ， … ， 段 即得 到 了 产、 。。 、 、、 、、 了 、 一 、 一 了 － 牡 乓 ，、 ‘ ’， 一 日 。 日 日 矩 阵 ， 》 的定义可参看 。 由于 是稳定的 矩阵 ， 所 以可找到正对角矩 阵 ， ， … ， 使得 负定 。 作二次型 、 、刀 口 了 、 二 艺 ， … ， 则 在 ” 中正定 ， 且从 有 一 － 乓 ， ， 、 、 工 ， 二 ’ 丫 日 ， 日 又 犷日 、口、 、 飞 奋 … 、 、、 一 勺 、 日 ， ， … ， 日 日「