七、积分上限的函数 3.导数的应用 定理如果函数∫()在区间[a,b上连续，则积分上 例310-2-2设f()在【a,上连续，且f(9>0, 限的函数 )-∫f0a 在[a,b)上具有导数，并且它的导数是 则方程广70a+和=0在a创内有几个实 ()=f(x)(a≤x≤b) 根？ 推论当积分上下限是x的函数时，看做中间变量 例410-3-3设∫(x)满足 (o =f[B(x)1B(x) fu-w=￡ +e3-1, ra =f[B(x)IB(x)-f[ax)la(x) 求∫(9的极值与渐近线。 积分6f(知)也是x的函数，可以令u=过， 则ar=aa, 由定积分的换元法， ①若mfx)=o,则x=为)=f(的铅直渐近线： roau-2rwau-foau. ②若im∫(x)=A,则=A为y=∫()的水平渐近线： ③若y=c+b为y-()的斜渐近线，则 对积分rx-，令=x-1即1=x-u, limf(y-(+b刎=0， 则dt=du,由定积分的换元法， S(x-t)ar=5(x-f((-1)du 从而k=m四，b=婴了-创. =i(-f(01au=xfodu-j)g(oa. 八、定积分的计算 1.积分上限的函数求导 1.利用对称性，几何意义及公式计算定积分 0, ∫rac= f(-x)=-f(x 例115-5设函数f(x)连续，且 2f(xax,(-x)-f(x). ax-nat-arcta 意利用双对称性简化定积分运算，必须同时满 已知f四=1，求fxax的值. 足 (1)积分区间关于原点对称， (2)被积函数是奇函数（图形关于原点对称）， 或者被积函数是偶函数（图形关于y轴对称）· 定积分几何意义：对应图形面积的代数和， 2.洛必达法则求极限 (sin xs (rat, 例215-4设F(x) 0, x=0,其中 f(l.x)x=-2f月f(inx)dx In(1+x) x<0 月rin9ar-j月f0os9r 连续，且g八四-2，求F0 月sin'xdr n为奇数 x =fcos'xdx=n-1.n-3. (2. 3 n n-2 52n为偶数 1π