第6期 杨亚锋：基于集对逻辑的近似推理方法研究 ·923. 集对判断句分别从肯定、否定、不确定3个 mina(A),0)i+mina(A),0j= 方面描述了命题的特征，是一种更为客观的推 1+(1-1-0)i+0j=1 理形式，是对模糊推理及双枝模糊推理的补充 即u(A→B)=1,因此A一B为S-真。 与完善。 4)若B对x为S-假命题，即u(B)=j,则 2.2单论域集对推理 (A→B)= (A)=a(A)+b(A)i c(A)j,u(B)= maxc(A),a(B)+(1-max c(A),a(B)- a(B)+b(B)i+c(B)j则对于以上给出的集对蕴含 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 式，有： max{c(A),0}+(1-maxc(A),0}- 定义9如果A→B的真值为u(A→B)=1,则 mina(A),1)i+mina(A),1j= 称A→B对x集对真，简记为S-真。 c(A)+(1-c(A)-a(A))i+a(A)=u(A) 定义10如果A→B的真值为u(A→B)=i, 则称A→B对x集对不确定，简记为S-不确定。 即u(A→B)=μ(A)=u(A)因此A→B与A互逆。 定义11如果A→B的真值为u(A→B)=j, 定律10若u(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j, 则称A→B对x集对假，简记为S-假。 u(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j,且A对x为S-不确 定律9若对于集对命题A,B,其真值分别为 定命题，则有： 1)若B对x为S真命题，则A→B为S-真； (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 2)若B对x为S假命题，则A→B为S不确定。 (B)=a(B)+b(B)i+c(B)j 3)若B对x为S-不确定命题，则A→B为S-不 则有以下性质成立： 1)若A对x为S-真命题，则A→B与B等值： 确定。 2)若A对x为S假命题，则A→B对x必为S真： 证明：由题意u(A)=i,根据定义知， 3)若B对x为S真命题，则A→B对x必为S真： u(A→B)= maxc(A),a(B)+(1-max c(A),a(B) 4)若B对x为S-假命题，则A→B与A互逆。 证明根据定义知 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= max{0,a(B)}+(1-max{0,a(B)}- 1)若A对x为S-真命题，即u(A)=1,则 u(A→B)= min0,c(B))i+min0,c(B)j= a(B)+(1-a(B))i maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B)- 当a(B)=1,(A→B)=1,A→B为S-真； mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 当a(B)=0,u(A→B)=i,A→B为S-不确定。 max{0,a(B)}+(1-max{0,a(B)}- 得证。 min1,c(B))i+min1,c(B)j= 定律11复合蕴含规则。设A,B,C∈S,且 a(B)+(1-a(B)-c(B)})i+c(B)j=u(B) (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 即u(A→B)=u(B),因此A→B与B等值。 u(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j 2)若A对x为S假命题，即u(A)=j,则 u(C)=a(C)+b(C)i+c(C)j (A→B)= 若A→B对x为S-真，B→C对x为S-真，则A→C maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B)- 对x为S-真。 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 证明由蕴含式A→B对x为S-真，知： max1,a(B)}+(1-max{1,a(B)}- min0,c(B))i+min0,c(B)j= u(A→B)=u(A)Vu(B)=1,则u(A)和 1+(1-1-0)i+0i=1 u(B)必定至少有一个为1。若u(B)=1,则 即u(A→B)=1,因此A→B为S-真。 由定律9知u(C)=1,于是得到u(A→C)= 3)若B对x为S真命题，即u(B)=1,则 1,即A→C对x为S-真。若u(A)=1,又有 u(A→B)= B→C对x为S-真，则必有u(C)=1,即得A→ maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B)- C对x为S-真。证毕。 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 对于集对蕴含式推理的一般情况，见表1。 max{c(A),1}+(1-max{c(A),1}-集对判断句分别从肯定、否定、不确定 ３ 个 方面描述了命题的特征，是一种更为客观的推 理形式，是对模糊推理及双枝模糊推理的补充 与完善。 ２．２ 单论域集对推理 设 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ，μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ 则对于以上给出的集对蕴含 式，有： 定义 ９ 如果 Ａ → Ｂ 的真值为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， 则 称 Ａ → Ｂ 对 ｘ 集对真，简记为 Ｓ⁃真。 定义 １０ 如果 Ａ → Ｂ 的真值为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｉ， 则称 Ａ → Ｂ 对 ｘ 集对不确定，简记为 Ｓ⁃不确定。 定义 １１ 如果 Ａ → Ｂ 的真值为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｊ， 则称 Ａ → Ｂ 对 ｘ 集对假，简记为 Ｓ⁃假。 定律 ９ 若对于集对命题 Ａ，Ｂ， 其真值分别为 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ 则有以下性质成立： １）若 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，则 Ａ → Ｂ 与 Ｂ 等值； ２）若Ａ 对ｘ 为Ｓ⁃假命题，则Ａ →Ｂ 对ｘ 必为Ｓ⁃真； ３）若Ｂ 对ｘ 为Ｓ⁃真命题，则Ａ →Ｂ 对ｘ 必为Ｓ⁃真； ４）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题， 则 Ａ → Ｂ 与 Ａ 互逆。 证明 根据定义知， １）若 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 命题，即 μ（Ａ） ＝ １， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛１，ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛１，ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ａ（Ｂ） ＋ （１ － ａ（Ｂ） － ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ ＝ μ（Ｂ） 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ μ（Ｂ）， 因此 Ａ → Ｂ 与 Ｂ 等值。 ２）若 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题， 即 μ（Ａ） ＝ ｊ， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛１，ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛１，ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ １ ＋ （１ － １ － ０）ｉ ＋ ０ｊ ＝ １ 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， 因此 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真 。 ３）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 命题，即 μ（Ｂ） ＝ １， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），１｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），１｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），０｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），０｝ｊ ＝ １ ＋ （１ － １ － ０）ｉ ＋ ０ｊ ＝ １ 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， 因此 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真 。 ４）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题， 即 μ（Ｂ） ＝ ｊ， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），０｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），０｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），１｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），１｝ｊ ＝ ｃ（Ａ） ＋ （１ － ｃ（Ａ） － ａ（Ａ））ｉ ＋ ａ（Ａ） ＝ μ（Ａ） 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ μ（Ａ） ＝ μ（Ａ － ） 因此 Ａ → Ｂ 与 Ａ 互逆。 定律 １０ 若 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ， μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ， 且 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃不确 定命题，则有： １）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，则 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真； ２）若Ｂ 对ｘ 为Ｓ⁃假命题，则Ａ →Ｂ 为Ｓ⁃不确定。 ３）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃不确定命题，则 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃不 确定。 证明：由题意 μ（Ａ） ＝ ｉ， 根据定义知， μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ａ（Ｂ） ＋ （１ － ａ（Ｂ））ｉ 当 ａ（Ｂ） ＝ １， μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真； 当 ａ（Ｂ） ＝ ０， μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｉ， Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃不确定。 得证。 定律 １１ 复合蕴含规则。 设 Ａ，Ｂ，Ｃ ∈ Ｓ， 且 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ μ（Ｃ） ＝ ａ（Ｃ） ＋ ｂ（Ｃ）ｉ ＋ ｃ（Ｃ）ｊ 若 Ａ → Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真， Ｂ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真，则 Ａ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真。 证明 由 蕴 含 式 Ａ → Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 ， 知： μ（ Ａ → Ｂ） ＝ μ（ Ａ） ∨ μ（ Ｂ） ＝ １， 则 μ（ Ａ） 和 μ（ Ｂ） 必定至少有一个为 １。 若 μ（ Ｂ） ＝ １， 则 由定律 ９ 知 μ（ Ｃ） ＝ １， 于是得到 μ（ Ａ → Ｃ） ＝ １， 即 Ａ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 。 若 μ（ Ａ） ＝ １， 又有 Ｂ →Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 ，则必有 μ（ Ｃ） ＝ １， 即得 Ａ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 。 证毕。 对于集对蕴含式推理的一般情况，见表 １。 第 ６ 期 杨亚锋：基于集对逻辑的近似推理方法研究 ·９２３·