.922. 智能系统学报 第10卷 的扩充。作者认为，在很多情况下，不易判断命题是 u(AAB)=(A)∧(B)= 否为真或假，事物本身带有极大的不确定性。命题 mina(A),a(B)+(1-mina(A),a(B) 的真度、伪度和不确定度三者同时存在，并形成一个 maxc(A),c(B))i+maxc(A),c(B)j 相互作用、相互转化的系统。为了更为客观、全面、 (A)=(A)=c(A)+b(A)i+a(A)j 系统地刻画事物，作者以集对分析理论[13中的联 1.2运算定律 系数为基本工具，提出了集对逻辑的定义，并证明了 约定：A,B,C∈S 其主要运算律)。本文以集对逻辑的基本方法为 (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 主要工具，提出一种新的近似推理模式与方法。 (B)=a(B)+b(B)i+c(B)j 1集对逻辑 u(C)=a(C)+b(C)i+c(C)j 下面给出集对逻辑命题定律： 1.1基本概念 定律1幂等律 对于一个命题A,如果得到其为真、假、不确定 μ(A∧A)=u(A),(AVA)=u(A) 的程度分别为a、b、c,则可将A的真值表示为联系 定律2交换律 数的形式，记作：u=a+bi+c。具有该种形式真值 u(AA B)=u(B AA),u(A VB)=u(B VA) 的命题成为集对命题。 定律3吸收律 定义1设集对命题的集合S,若映射u:S→ u(A V(AA B))=u(A)(AA (A VB))=(A) {uu=a+bi+g满足： 定律4结合律 u(A VB)=u(A)Vu(B) ((AA B)AC)=u(AA(BAC)) u(AA B)=u(A)A u(B) ((A V B)VC)=u(A V(B V C)) (A)=u(A) 定律5分配律 则称映射u为S上的真值函数，u(A)称为集对命 (A V(BA C))=u((AVB)A(A VC)) 题A的真值。当给定集对命题A以具体的真值时， (AA(BV C))=u((AA B)V(AA C)) 称为给集对命题A赋值。 定律6在分配格(S,V,∧)中有最大元1和 定义2对于集对公式A和B,当且仅当对A、 最小元j,且满足 B中所含集对命题的一切赋值都有u(A)=u(B) (A)Vj=u(A),u(A)Aj=j 时，称A、B为等值公式，并记作A=B。 u(A)V1=1,(A)A1=u(A)》 定义3如果集对命题A的真值为u(A)=1, 定律7对合律，u(A)=(A) 则称A为S-真命题。 定律8摩根律 定义4如果集对命题A的真值为u(A)=i,则 称A为S-不确定命题。 (AA B)=u(A V B),u(A V B)=u(AA B) 定义5如果集对命题A的真值为(A)=j,则 2集对推理 称A为S假命题。 定义6对于集对命题A,如果其真度为 2.1基本概念 a(A),伪度为c(A)j,则其不确定度为b(A)=1- 形如“A:x是a”的陈述句称为判断句，x称为 语言变元，是论域X中的任一特定对象。若A所表 a(A)-c(A),且命题A的真值为 示的概念是集对的，即其真值可用联系数来表示，则 (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j (1) 式中：0≤a(A),b(A),c(A)≤1，且满足归一化条 称判断句A为集对判断句，其真值记为 (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 件a(A)+b(A)+c(A)=1。 设A,B∈S,u(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j和 定义7对于判断句“A:x是a”和“B:x是 b”,称“若A,则B”为推理句，记作A→B。若A、B u(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j,针对集对真值的真 度和伪度分别进行双枝模糊逻辑的演算规则，则：析 均为集对判断句，则称为集对推理。 定义8集对判断句的蕴含关系为 取式、合取式和否定式的真值如下： (A VB)=u(A)V u(B)= u(A→B)=u(A)Vu(B)= maxa(A),a(B)+(1-maxa(A),a(B)- maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B) minc(A),c(B))i+minc(A),c(B)j mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j的扩充。 作者认为，在很多情况下，不易判断命题是 否为真或假，事物本身带有极大的不确定性。 命题 的真度、伪度和不确定度三者同时存在，并形成一个 相互作用、相互转化的系统。 为了更为客观、全面、 系统地刻画事物，作者以集对分析理论［１３⁃１４］ 中的联 系数为基本工具，提出了集对逻辑的定义，并证明了 其主要运算律［１５］ 。 本文以集对逻辑的基本方法为 主要工具，提出一种新的近似推理模式与方法。 １ 集对逻辑 １．１ 基本概念 对于一个命题 Ａ， 如果得到其为真、假、不确定 的程度分别为 ａ、ｂ、ｃ， 则可将 Ａ 的真值表示为联系 数的形式，记作： μ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＋ ｃｊ。 具有该种形式真值 的命题成为集对命题。 定义 １ 设集对命题的集合 Ｓ， 若映射 μ：Ｓ → ｛μ μ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＋ ｃｊ｝ 满足： μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∨ μ（Ｂ） μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∧ μ（Ｂ） μ（Ａ － ） ＝ μ（Ａ） 则称映射 μ 为 Ｓ 上的真值函数， μ（Ａ） 称为集对命 题 Ａ 的真值。 当给定集对命题 Ａ 以具体的真值时， 称为给集对命题 Ａ 赋值。 定义 ２ 对于集对公式 Ａ 和 Ｂ， 当且仅当对 Ａ、 Ｂ 中所含集对命题的一切赋值都有 μ（Ａ） ≡ μ（Ｂ） 时，称 Ａ、 Ｂ 为等值公式，并记作 Ａ ＝ Ｂ。 定义 ３ 如果集对命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ １， 则称 Ａ 为 Ｓ⁃真命题 。 定义 ４ 如果集对命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ ｉ， 则 称 Ａ 为 Ｓ⁃不确定命题 。 定义 ５ 如果集对命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ ｊ， 则 称 Ａ 为 Ｓ⁃假命题 。 定义 ６ 对 于 集 对 命 题 Ａ， 如 果 其 真 度 为 ａ（Ａ）， 伪度为 ｃ（Ａ）ｊ， 则其不确定度为 ｂ（Ａ） ＝ １ － ａ（Ａ） － ｃ（Ａ）， 且命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ （１） 式中： ０ ≤ ａ（Ａ），ｂ（Ａ），ｃ（Ａ） ≤ １， 且满足归一化条 件 ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ） ＋ ｃ（Ａ） ＝ １。 设 Ａ，Ｂ ∈ Ｓ， μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ 和 μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ， 针对集对真值的真 度和伪度分别进行双枝模糊逻辑的演算规则，则：析 取式、合取式和否定式的真值如下： μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∨ μ（Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∧ μ（Ｂ） ＝ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ μ（Ａ － ） ＝ μ（Ａ） ＝ ｃ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ａ（Ａ）ｊ １．２ 运算定律 约定： Ａ，Ｂ，Ｃ ∈ Ｓ μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ μ（Ｃ） ＝ ａ（Ｃ） ＋ ｂ（Ｃ）ｉ ＋ ｃ（Ｃ）ｊ 下面给出集对逻辑命题定律： 定律 １ 幂等律 μ（Ａ ∧ Ａ） ＝ μ（Ａ），μ（Ａ ∨ Ａ） ＝ μ（Ａ） 定律 ２ 交换律 μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ｂ ∧ Ａ），μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ｂ ∨ Ａ） 定律 ３ 吸收律 μ（Ａ ∨ （Ａ ∧ Ｂ）） ＝ μ（Ａ），μ（Ａ ∧ （Ａ ∨ Ｂ）） ＝ μ（Ａ） 定律 ４ 结合律 μ（（Ａ ∧ Ｂ） ∧ Ｃ） ＝ μ（Ａ ∧ （Ｂ ∧ Ｃ）） μ（（Ａ ∨ Ｂ） ∨ Ｃ） ＝ μ（Ａ ∨ （Ｂ ∨ Ｃ）） 定律 ５ 分配律 μ（Ａ ∨ （Ｂ ∧ Ｃ）） ＝ μ（（Ａ ∨ Ｂ） ∧ （Ａ ∨ Ｃ）） μ（Ａ ∧ （Ｂ ∨ Ｃ）） ＝ μ（（Ａ ∧ Ｂ） ∨ （Ａ ∧ Ｃ）） 定律 ６ 在分配格 （Ｓ，∨，∧） 中有最大元 １ 和 最小元 ｊ， 且满足 μ（Ａ） ∨ ｊ ＝ μ（Ａ），μ（Ａ） ∧ ｊ ＝ ｊ μ（Ａ） ∨ １ ＝ １，μ（Ａ） ∧ １ ＝ μ（Ａ） 定律 ７ 对合律， μ（Ａ ＝ ） ＝ μ（Ａ） 定律 ８ 摩根律 μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ａ － ∨ Ｂ － ），μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ａ － ∧ Ｂ － ） ２ 集对推理 ２．１ 基本概念 形如“ Ａ ： ｘ 是 ａ ”的陈述句称为判断句， ｘ 称为 语言变元，是论域 Ｘ 中的任一特定对象。 若 Ａ 所表 示的概念是集对的，即其真值可用联系数来表示，则 称判断句 Ａ 为集对判断句，其真值记为 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ 定义 ７ 对于判断句“ Ａ ： ｘ 是 ａ ”和“ Ｂ ： ｘ 是 ｂ” ，称“若 Ａ， 则 Ｂ ”为推理句，记作 Ａ → Ｂ。 若 Ａ、Ｂ 均为集对判断句，则称为集对推理。 定义 ８ 集对判断句的蕴含关系为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∨ μ（Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ·９２２· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷