dd=1.793无符号解 rdrd→-π-π=1.7 2=t 2r.dr= dt substitute.r= 在圆环域1x2y-24上计算(2+y3)的积分应用极坐标 drd→8·πln(2)-3·π 例2计算三重积分 计算椭球体 2,上2+2=1的体积 4 V(a,b,c):=8·abc r sin(o)dr do do V(a,b,c)→-abcπ 直接在直角坐标下求出的符号解为: xa, p, 0) =a-p-cos(e) yb, p, 0) =b psin(e) j(a, b, p, 0) =a-b-p 2(a,b,c):=8 (2)计算函数u=xyz在D=《(x,y)x42+y42+z42<a42,a>0}上的积分 a2x2c√a2-x2 x: y'z dz dy dx16 sin()-cos(o)-sin(e)"cos(e) j=rsin(e) sin(o)-cos( o) sin(e)- cos(e)de do dr160 a r 0 p 2 f 0 p 2 r q 5 ×sin(f)×cos(f) sin(q) 3 × ×cos(q) ó ô ô õ d ó ô ô õ d ó ô ô õ d 1 48 a 6 ® × J r 2 x×y×z r = ×sin(q) 3 ×sin(f)×cos(f) sin(q) 2 = × ×cos(q) 0 a x 0 a 2 x 2 - y 0 a 2 x 2 - y 2 - x×y×z z ó ô õ d ó ô õ d ó ô õ d 1 48 a 6 ® × (2) 计算函数u=xyz在D={(x,y)| x^2 +y^2+z^2<a^2 ,a>0}上的积分 V2(a, b, c) 4 3 V2(a, b, c) 8 ® ×p×c×a×b 0 p 2 q 0 1 c 1 r r 2 × - ×a×b×r ó ô õ d ó ô ô õ := × d x(a,r ,q) := a×r×cos(q) y(b, r ,q) := b×r×sin(q) J(a,b, r , q) := a×b×r 8 0 a x 0 b 1 x 2 a 2 × - y 0 c 1 x 2 a 2 - y 2 b 2 - 1 z ó ô ô õ d ó ô ô õ d ó ô ô õ × d 4 3 ×c×a 2×ln(b) ln -1 b 2 æ ç è ö ÷ ø + æ ç è ö ÷ ø -1 b 2 æ ç è ö ÷ ø 1 2 ® × 直接在直角坐标下求出的符号解为: V(a, b, c) 4 3 V(a, b, c) 8×a×b×c ® ×a×b×c×p 0 p 2 j 0 p 2 f 0 1 r r 2 ×sin(f) ó ô õ d ó ô ô õ d ó ô ô õ := × d (1) 计算椭球体 x 2 a 2 y 2 b 2 + z 2 c 2 + = 1 的体积. 例2 计算三重积分 0 2p q 1 2 ln r r 2 ( )×r ó ô õ d ó ô õ d ® 8×p×ln(2) - 3×p 在圆环域1<x^2+y^2<4上计算 ln x 2 y 2 ( + ) 的积分.应用极坐标. 0 2p q 0 1 t (1 - t) (1 + t) é ê ë ù ú û 1 2 1 2 × ó ô ô ô ô õ d ó ô ô ô ô õ d 1 2 p 2 ® × - p 1 r 2 - 1 r 2 + substitute,r = t (1 - t) (1 + t) é ê ë ù ú û 1 2 r 2r×dr = dt ® 2 = t 0 2×p q 0 1 r 1 r 2 - 1 r 2 + ×r ó ô ô ô õ d ó ô ô ô õ d 1 2 p 2 无符号解 ® × - p = 1.793 - 1 1 x 1 x 2 - - 1 x 2 - y 1 x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 + ó ô ô ô ô õ d ó ô ô ô ô õ d = 1.793