水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:0106270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 齐次方程的通解。 阶线性微分方程 一阶线性微分方程:+P(x)y=Qx) 当Qx)=0时,为齐次方程,y=CePM 当0x)≠0时,为非齐次方程y=( are muamar+kJ 2贝努里方程: +P(x)y=Q(x)y",n≠0,1) 全微分方程: 如果P(x,y)dx+Q(x,y)d=0中左端式某函数的全微分方程,即 dn(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)l=0,其中c P(xy1xy),∴(x,y)=C应该式该 全微分方程的通解 阶微分方程 f(x)=0时为齐次 +P(x)+O(x)y=f(x) (x)≠0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 (*)y”+py+qy=0,其中p,q为常数 求解步 写出特征方程:(△y2+p+q=0,其中r2,r的系数及常数项恰好式()中y",y,y系数 2求出(△)式的两个根F1,F2 3根据F,F2的不同情况,按下表写出(*)式的通解 n,2的形式 (*)式的通解 两个不相等实根(p2-4q>0) y=ce+ce2r 两个相等实根(p2-4q=0) y=(C+c,r)e 对共轭复根(p2-4q<0) y=e(c, cos Bx+C2 sin Ar) ,=a+iB,r,=a-iB B 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x),p,q为常数 f(x)=eP(x)型, f(x)=e[P(x)cosIx+P(xr)sinex]y水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 齐次方程的通解。 一阶线性微分方程： 1。.一阶线性微分方程： xQyxP )()( dx dy =+ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∫ + ∫ ≠ = ∫ = = ∫ − − dxxP dxxP dxxP xQ eCdxexQy xQ Cey )( )( )( 0)( )(( ) ,0)( 当 时，为非齐次方程， 当 时 为齐次方程， 2.贝努里方程： =+ nyxQyxP ≠ )1,0()()( dx dy n ， 全微分方程： 如 果 + dyyxQdxyxP = 0),(),( 中左端式某函数的全微分方程，即 = + dyyxQdxyxPyxdu = 0),(),(),( ，其中 yxQ ),(),( y u yxP x u = ∂ ∂ = ∂ ∂ ， ，∴ ),( = Cyxu 应该式该 全微分方程的通解。 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 ≠ = =++ xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*) ′′ + ′ qyypy =+ 0 ，其中 p, q 为常数； 求解步骤： 1.写出特征方程： )( 0 ，其中 的系数及常数项恰好式 (*) 中 系数。 2 qprr =++Δ ，rr 2 ′′′ ,, yyy 2.求出 式的两个根 Δ)( 21,rr 3.根据 的不同情况，按下表写出 ,rr 21 (*) 式的通解： ，rr 21 的形式 (*)式的通解 两个不相等实根 )04( 2 qp >− xrxr ececy 1 2 1 += 2 两个相等实根 )04( 2 qp =− xr exccy 1 += )( 21 一对共轭复根 )04( 2 qp <− 2 4 2 2 1 2 p pq irir − =−= += −= α β α β α β ， ， 1 cos( 2 xcxcey )sin x ββ α = + 二阶常系数非齐次线性微分方程 ′′ + ′ =+ ， ,)( qpxfqyypy 为常数 m xPexf )()( 型 ， λx = λ 为常数， = λx l ω + n ωxxPxxPexf ]sin)(cos)([)( 型 30