·经典运动方程为 M,=- ·代入后可得: l对u的导数仅与和的格矢差有关,因为可 以任意移动原点坐标而不影响这个导数 尝试解 Ma.(q)e4M- q=∑ (民,一比 、√M, M, das aua. ua.(a) 种p∥45.2413che國体学 体理学 本征值方程 讨论 写成 形式上与能带本征值问题完全类似,DQq相当 3sx3s维的矩阵(s是原胞内原子的个数),而 Daaq)称为动力学矩阵,即 且是个 Hermit矩阵〔作为习题证明),即有实 Dy()-=∑ 教的本征值 对每一个q,Aq,F=1…,3s,共有3个实数 的本征值,(q称为色散关系,3支声学支 述线性方程组有非平凡解的条件是 其余光学支 对每一个aq),D分别有一个本征矢,本征矢 dpad, y (a)-02, & rI 具有正交归一性和完备性 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 对每一个本征值,有一个本征失,滿足: 本讲要点 o(qaq)=∑Day(ka(q) 维单原子链的晶格振动 程、尝试解式 ·本征失的正交性 ( Bloch定理) 维双原子链的晶格摄动 ∑cr(qkmq)=6n 与单原子相比,有光学支振动 q0(长波近似光学支、声学支色散关系特点? 质心的动 ·本征失的完备性 ·三维体系的晶格振动 ∑cm(qk(q)=6m6 原胞中原子的自由度数3s)与振动格波数(3s,3s3) http:Ia45].132ichey 是学 趣452413 binche物理学8 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 43 • V对ui,i’的导数仅与i和i’的格矢差有关，因为可 以任意移动原点坐标而不影响这个导数 • 尝试解 ∑ ∂ ∂ ∂ = − ', ', ' ', ' ' 0 , ', ' ' 2 2 , 2 α α α α α i j i j ij i j ij j u u u V dt d u M • 经典运动方程为 i i t j j ij i u e M u ω α α ⋅ − = q R (q) 1 , , http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 44 • 代入后可得： ( ) ∑ ( ) ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂ = − − = ', ', ' ', ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' , 2 ' 1 α α ω α α ω ω α i j j i i t i ij i j j i i t j j e u u u V M M u e i i i i q q q R q R R q R ( ) ∑ ( ) ⋅ − ∂ ∂ ∂ = ', ', ' ', ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' , 2 ' 1 α α α α ω α i j j i ij i j j j j e u u u V M M u i i q q q R R • 即 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 45 本征值方程 • 写成 () () () = ∑', ' , ', ' ', ' 2 α ω α αα α j j jj j u q D q u q ( ) ∑− ⋅ − ∂ ∂ ∂ = i i i i i ij i j j j jj e u u V M M D R R q R R q ' ' ( ) 0 , ', ' ' 2 ' ', ' 1 α α αα • Dαα’,jj’(q)称为动力学矩阵，即 det ( ) 0 ' ' 2 Dαα', jj' q −ω δ αα δ jj = • 上述线性方程组有非平凡解的条件是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 46 讨论 • 形式上与能带本征值问题完全类似，D(q)相当 于H(k) • 3s x 3s维的矩阵（s是原胞内原子的个数），而 且是个Hermit矩阵（作为习题证明），即有实 数的本征值 • 对每一个q，ωl (q)，l=1,….,3s，共有3s个实数 的本征值， ωl (q)称为色散关系，3支声学支， 其余光学支 • 对每一个ωl (q)，D分别有一个本征矢，本征矢 具有正交归一性和完备性 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 47 () () () () = ∑', ' ( ) ', ' ', ' ( ) , 2 α ω α αα α j l jj j l l j q c q D q c q • 本征矢的正交性 () () ' ', ' ( ') ', ' ( )* ', ' ll j l j l j c c δ α ∑ α q α q = • 本征矢的完备性 ( ) ( ) ' ' ( ) ', ' ( )* , jj l l j l j ∑cα q cα q = δ αα δ • 对每一个本征值，有一个本征矢，满足： http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 48 本讲要点 • 一维单原子链的晶格振动 * 势能与力常数(简谐近似)、运动方程、尝试解形式 (Bloch定理)，色散关系(声学支振动) • 一维双原子链的晶格振动 * 与单原子相比，有光学支振动 * q~0(长波近似)光学支、声学支色散关系特点？ * 光学支、声学支振幅关系——相对质心的振动 (q=0时，质心不动的振动)、质心振动 • 三维体系的晶格振动 * 原胞中原子的自由度数(3s)与振动格波数(3s，3s-3) 之间的关系