其中σ=N(j1,j2,…,)+N(k+1,k+2,…,j)此处(i,j2,…,j)是(1,2,…,k) 的一个排列,(jk+1,j+2,…,是(k+1,k+2,…,m)的一个排列.故 Jk)+ n)=N(1,j2,…,jk,jk+1,J 即(4)式所示为|4中某一项 现在讨论一般情形.设1≤i<i<…<i≤n;1≤j<j<…<j≤n 经过i1-1次相临两行互换,可把第i1行调到第1行;同理经-2次对换 可把i行调至第2行, 经过(i1-1)+(2-2)+…+(ik-k)=(i1+ i2+…+ik)-是k(k+1)次对换可把第i1,2,…,ik行调至前k行;同理,经过 (1+1+…+jk)-是k(k+1)次对换,可将第1,j2,…,i列调至前k列.因此 A经(i1+12+…+ik)+(1+j2+…+jk)-k(k+1)次行,列对换,得一新行 列式 CI B 其中C|=(-1)+gk+4|=(-1)P+q4P=i1+12+…+i=j1+12+…+j B是子式D在C中的余子式,(亦是代数余子式).由前讨论过情形知:|D|B 中的任一项都是C|中的项,但显然由定义 因此 中的任一项都是(-1)p+qC=|4的项 现完成 Laplace定理的证明. 证明只需证(2)式,(3)式同理可证.由引理可知(5)式中任一项均属于|4 的展开式.当i1,2…,ik固定时,对不同的1≤j<j<…<i≤m,由(5)式 展开得到的项没有重复的,且一共有n!项,|4的展开式中也有n!项.因此(2) 式成立f σ = N(j1, j2, · · · , jk)+N(jk+1, jk+2, · · · , jn).  (j1, j2, · · · , jk) z (1, 2, · · · , k)  *eV￾ (jk+1, jk+2, · · · , jn) z (k + 1, k + 2, · · · , n)  *eV
- N(j1, j2, · · · , jk) + N(jk+1, jk+2, · · · , jn) = N(j1, j2, · · · , jk, jk+1, jk+2, · · · , jn) < (4) xy |A| b 
3Z i
t 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n; 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n. H1 i1 − 1 WT67￾O i1   1  QH i2 − 2 $7 O i2  > 2 ￾ · · ·, H1 (i1 − 1) + (i2 − 2) + · · · + (ik − k) = (i1 + i2 + · · · + ik) − 1 2 k(k + 1) $7O i1, i2, · · · , ik  >g k  Q￾H1 (j1 + j2 + · · · + jk) − 1 2 k(k + 1) $7￾O? j1, j2, · · · , jk V >g k V
% |A| H (i1 + i2 + · · · + ik) + (j1 + j2 + · · · + jk) − k(k + 1) ￾V$7￾  Vx |C| =     D ∗ ∗ B     f |C| = (−1)p+q−k(k+1)|A| = (−1)p+q |A|,p = i1+i2+· · ·+ik,q = j1+j2+· · ·+jk. |B| zCx |D| 3 |C| -Cx￾(#z-Cx). )gZ1i:|D||B| o "z |C| ￾n)!$ Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  = (−1)p+q |B| % A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  (5) o "z (−1)p+q |C| = |A| 
✷  Laplace !Q9`
TM =9 (2) x￾ (3) x QO9
)&QO: (5) xo L}, |A| 5Mx
 i1, i2, · · · , ik .!v￾$  1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n, ) (5) x 5M\*A(￾h +* n! ￾ |A| 5Mx* n! 
% (2) x R
✷ 4