第五章线性规划问题的灵敏度分析 在所有的线性规划问题中，决策变量在目标函数中的系数©和在约束条件方程中的 数与及右端值：都是固定的.但在实际工作中，我们是处理未来的问题，很可能不知 参数的确切值还有企业管理人员如想知道，稍微政变一下原定的参数，能否使目 标（例如利润和成本）有较大的变化，以判断这些改变是否有利.譬如说，加班可以使利润 有较大的增加.快簧人就可以快定加班另外决策人不想知道.那些参数对目标函数值的 影响较大、需要花较多的人力和费用，将这些参数预测的准确一些，以提高数学模型及其 解的可靠性。 灵敏度分析就是在线性规划问题已求出最优解以后，某一个参数变化时不必将问题 从头到尾重算一遍，就知道最优解及其目标函数会发生什么变化，使决策者只花费很少的 费用就可以得到比一组最优解为多的信息，以处理上面提到的问题. 这一章讨论目标函数为“max”,约束条件为“≤”型的线性规划问题，对其他类型的 线性规划问题作灵敏度分析，必须对体章结论作相应的修改 第一节边际值及其应用 在分析：值的变化对目标值的影响以及判断新增加产品是否有利时边际值是一个 很有用的概念。我们先给出边际值的定义并指出如何在单纯形表中找出边际值，然后结合 例题说明边际值的应用 所谓第：种资源的边际值就是将1单位的第讠行约束条件方程所代表的资源从现在 的用涂中抽出来而使利润减少的数字.用：表示。“现在用涂”意味着某一张单纯形表中 的基变量及其取值。当资源的减少数量在本章第三节所谈的范围内时，可以用本节的 方法直接从单纯形表中读出，若资源的诚少超出这个范围，：的值就要变动了， 降一单位的第言个约束条件方程所表示的资源从现在的用途抽出.意味着使第个然 束条件方程的松弛变量n+增加一单位.由前面的讨论知，n+:增 一单位而损失的利 润为zm+i=cBB-1Pn+i,因此有 4=2n+ (4.1) 这就是说，某一单纯形表中第1种资源的边际值:等于该表中第1行约束条件方程的松 弛变量xn+:的机会费用。 在第二章单纯形表中的机会费用可利用 -∑44，=CnBB 得到，在引进边际值的概念后，乡可以直接用下式计算 (4.2) 对式(5.2)不作详细的证明，但其经济意义是很明显的。为了生产一单位的工，必须消耗 单位的第i行约束条件方程对应的资源i,即需将a,单位的第i种资源从现在的用途 中抽出，由边际值的意义即知，此时损失的利润为a9,由此可得公式(5.2). 1 ￾✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡☞☛☞✌☞✍☞✎☞✏ ✑✓✒✓✔✓✕✓✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✢✜, ✣✓✤✓✥✓✦✑★✧✪✩✓✫✓✬✢✜✭✕✓✮✓✬ ci ✯✑✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✢✜✭✕ ✮✓✬ aij ✶✓✷✓✸✓✹ bi ✺✓✻✢✼✭✽✕✓✾❀✿✓✑✓❁✓❂✓❃✓❄✢✜, ❅✓❆✻✓❇✓❈✓❉✓❊✕✓✚✓✛, ❋✓●✓❍✓■✓❏ ❑✓▲✓▼✓◆✬✓✕✓❖✓P✹ ✾❀◗✓✔✓❘✓❙✓❚❈✓❯❲❱✓❳❲❨❏❑ , ❩✓❬✓❭✓✥✓❪✓❫✓❴✽ ✕◆✬ , ❍✓❵✓❛ ✧ ✩ (❜❳✓❝✓❞✓✯✓❡✓❢) ✔✓❣✓❤✓✕✥✓✐, ❥✓❦✓❧▲✓▼❭✓✥✻❵✔ ❝ ✾♥♠❳✓♦, ♣✓q✓●✓❥✓❛❝✓❞ ✔r❣r❤r✕rs♣, ✣r✤❯rt●r❥r✣✽♣rq✾✈✉✓✇, ✣r✤❯ ◗ ❨❏❑ , ① ▼r◆✬r②③✧❀✩r✫r✬✹ ✕ ④✓⑤❣✓❤✓⑥❀⑦✓⑧✓⑨✓❣✓⑩✓✕❯✓❶✓✯✓❷✓❸, ❹▲✓▼✓◆✬✓❺✓❻✓✕✓❼✓❖❪ ▼ , ❥✓❽✓❾✬✓❿✓➀✓➁✶✓➂ ➃✕●✓➄✗✓✾ ➅r➆r➇r➈r➉ tr✻✑r✖r✗r✘r✙r✚r✛➋➊➍➌r➎✓➏r➐➃ ❥r➑, ➒r❪r➓◆✬ ✥r✐r➔, ■r→r❹✚r✛ ➣✓↔✓↕✓➙✓➛✓➜❪✓➝, t❏❑➏✓➐➃ ✶✓➂ ✧✪✩✓✫✓✬✓➞✓➟✓➠✓➡✓➢✥✓✐, ❛✓✣✓✤✓➤✓➥⑨ ❷❋✓➦✕ ❷✓❸✓t●✓❥✓➧↕✢➨❪✓➩➏✓➐➃✓➫⑩✓✕✓➭✓➯, ❥ ❇✓❈✓➲✓➳❽ ↕✕✓✚✓✛✓✾ ▲ ❪❲➵❲➸❲➺ ✧➻✩❲✫❲✬➫ “max”, ✰❲✱❲✲❲✳➫ “≤” ➁❲✕❲✖❲✗❲✘❲✙❲✚❲✛❲✾❀②➂❲➼❲➽➁❲✕ ✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✓❄✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹, →✓➘② ❢➵✓➴✓➺❄✓➷✓➬✓✕✓➮❭ ✾ ➱❐✃❐❒ ❮❐❰❐Ï❐Ð❐ÑÓÒÕÔ ✑✓➶✓➹ bi ✹ ✕✥✓✐②★✧✪✩✹ ✕④✓⑤❥ ✶❦✓❧❲Ös♣❲×✓Ø✻❵✔ ❝➔,Ù❲Ú✓Û ✻❪✓➓ ❋ ✔ ❸✕rÜrÝr✾ ❅r❆rÞrß➎rà✓❂✹ ✕✽rá✓ârã➎ ❳rä✑rå✓ærç✓è✢✜➍é✓➎rà✓❂✹, êr➑r➴rë ❜✛ ♦✢ìà✓❂✹ ✕✓➬❸ ✾ ✒ríïî i ðrñròrórÙrÚrÛ tr✻❹ 1 årôr✕rõ i ö ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒r÷rè✓✕rø✓ù➣rú✑ ✕ ❸✓û ✜✭ü✓➎ ❊✓ý❛❝✓❞✓þ➦ ✕❲✬✓ÿ, ❸ qi è✁￾✓✾ “ú✑ ❸✓û” ✂✁✄✁☎✓➒✓❪✁✆å✓æ✓ç✓è✢✜ ✕✁✝✥✓✦✶✓➂✁✞✓✹✾✠✟✓ø✓ù i ✕þ➦✬ ✦ ✑❢➵ õ✁✡✁☛✓✒✁☞✓✕✁✌✎✍✁✏➔, qi ●✓❥ ❸✓❢☛✓✕ ✴✁✑✁✒✁✓➣å✓æ✓ç✓è✢✜✕✔✓➎, ✖ ø✓ù✓✕þ➦✁✗➎ ▲ ➓ ✌✎✍, qi ✕✹✓t⑧✥✁✘✁✙ ✾ ❹r❪årôr✕rõ i ➓ ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒rè✚￾r✕✓ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸rûü✓➎, ✂✚✄✚☎r❛õ i ➓ ✰ ✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛✁✜✥✓✦ xn+i s♣✓❪å✓ô✓✾✣✢✕✤➳ ✕➸✓➺✓❏, xn+i s♣✓❪å✓ôý✁✥✁✦✕ ❝ ❞➫ zn+i = cBB−1Pn+i , ✧✁★✔ qi = zn+i (4.1) ▲ t✓✻✓♦, ➒✓❪å✓æ✓ç✓è✢✜✭õ i ✩ ø✓ù✓✕✓à✓❂✹ qi ✪✁✫✁✬è✢✜✭õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛ ✜✥✓✦ xn+i ✕✁✭✓➞❷✓❸✾ ✑✓õ✁✮➵ å✓æ✓ç✓è✢✜✭✕✁✭✓➞❷✓❸ zj ●❝✓❸ zj = Xm i=1 c 0 ia 0 ij = CBB −1Pj ➧ ↕ , ✑✁✯✁✰✓à✓❂✹ ✕✓Ü✓Ý➑, zj ●✓❥ ✒✁✓❸❫✁✱✁✲➜ : zj = Xm i=1 aij qi (4.2) ② ✱ (5.2) ■ ❄✁✳✁✴✓✕✁✵ ì, ✿ ➂✁✶✁✷✂á✓✻❋ ì✕✸✕❲✾ ➫ ✙ ➠×✓❪å❲ô✓✕ xj , →✓➘✁✹✁✺ aij å✓ô✓✕✓õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✓ø✓ù i, ✻⑦❹ aij å✓ô✓✕✓õ i ✩ ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸✓û ✜✭ü✓➎, ✢✭à✓❂✹ ✕✂á✻✓❏, ★✓➔✥✁✦✕ ❝✓❞➫ aij qi , ✢ ★✓●✓➧✁✼✁✱ (5.2)✾