第五章线性规划问题的灵敏度分析 在所有的线性规划问题中，决策变量在目标函数中的系数©和在约束条件方程中的 数与及右端值：都是固定的.但在实际工作中，我们是处理未来的问题，很可能不知 参数的确切值还有企业管理人员如想知道，稍微政变一下原定的参数，能否使目 标（例如利润和成本）有较大的变化，以判断这些改变是否有利.譬如说，加班可以使利润 有较大的增加.快簧人就可以快定加班另外决策人不想知道.那些参数对目标函数值的 影响较大、需要花较多的人力和费用，将这些参数预测的准确一些，以提高数学模型及其 解的可靠性。 灵敏度分析就是在线性规划问题已求出最优解以后，某一个参数变化时不必将问题 从头到尾重算一遍，就知道最优解及其目标函数会发生什么变化，使决策者只花费很少的 费用就可以得到比一组最优解为多的信息，以处理上面提到的问题. 这一章讨论目标函数为“max”,约束条件为“≤”型的线性规划问题，对其他类型的 线性规划问题作灵敏度分析，必须对体章结论作相应的修改 第一节边际值及其应用 在分析：值的变化对目标值的影响以及判断新增加产品是否有利时边际值是一个 很有用的概念。我们先给出边际值的定义并指出如何在单纯形表中找出边际值，然后结合 例题说明边际值的应用 所谓第：种资源的边际值就是将1单位的第讠行约束条件方程所代表的资源从现在 的用涂中抽出来而使利润减少的数字.用：表示。“现在用涂”意味着某一张单纯形表中 的基变量及其取值。当资源的减少数量在本章第三节所谈的范围内时，可以用本节的 方法直接从单纯形表中读出，若资源的诚少超出这个范围，：的值就要变动了， 降一单位的第言个约束条件方程所表示的资源从现在的用途抽出.意味着使第个然 束条件方程的松弛变量n+增加一单位.由前面的讨论知，n+:增 一单位而损失的利 润为zm+i=cBB-1Pn+i,因此有 4=2n+ (4.1) 这就是说，某一单纯形表中第1种资源的边际值:等于该表中第1行约束条件方程的松 弛变量xn+:的机会费用。 在第二章单纯形表中的机会费用可利用 -∑44，=CnBB 得到，在引进边际值的概念后，乡可以直接用下式计算 (4.2) 对式(5.2)不作详细的证明，但其经济意义是很明显的。为了生产一单位的工，必须消耗 单位的第i行约束条件方程对应的资源i,即需将a,单位的第i种资源从现在的用途 中抽出，由边际值的意义即知，此时损失的利润为a9,由此可得公式(5.2)
1 ✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡☞☛☞✌☞✍☞✎☞✏ ✑✓✒✓✔✓✕✓✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✢✜, ✣✓✤✓✥✓✦✑★✧✪✩✓✫✓✬✢✜✭✕✓✮✓✬ ci ✯✑✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✢✜✭✕ ✮✓✬ aij ✶✓✷✓✸✓✹ bi ✺✓✻✢✼✭✽✕✓✾❀✿✓✑✓❁✓❂✓❃✓❄✢✜, ❅✓❆✻✓❇✓❈✓❉✓❊✕✓✚✓✛, ❋✓●✓❍✓■✓❏ ❑✓▲✓▼✓◆✬✓✕✓❖✓P✹ ✾❀◗✓✔✓❘✓❙✓❚❈✓❯❲❱✓❳❲❨❏❑ , ❩✓❬✓❭✓✥✓❪✓❫✓❴✽ ✕◆✬ , ❍✓❵✓❛ ✧ ✩ (❜❳✓❝✓❞✓✯✓❡✓❢) ✔✓❣✓❤✓✕✥✓✐, ❥✓❦✓❧▲✓▼❭✓✥✻❵✔ ❝ ✾♥♠❳✓♦, ♣✓q✓●✓❥✓❛❝✓❞ ✔r❣r❤r✕rs♣, ✣r✤❯rt●r❥r✣✽♣rq✾✈✉✓✇, ✣r✤❯ ◗ ❨❏❑ , ① ▼r◆✬r②③✧❀✩r✫r✬✹ ✕ ④✓⑤❣✓❤✓⑥❀⑦✓⑧✓⑨✓❣✓⑩✓✕❯✓❶✓✯✓❷✓❸, ❹▲✓▼✓◆✬✓❺✓❻✓✕✓❼✓❖❪ ▼ , ❥✓❽✓❾✬✓❿✓➀✓➁✶✓➂ ➃✕●✓➄✗✓✾ ➅r➆r➇r➈r➉ tr✻✑r✖r✗r✘r✙r✚r✛➋➊➍➌r➎✓➏r➐➃ ❥r➑, ➒r❪r➓◆✬ ✥r✐r➔, ■r→r❹✚r✛ ➣✓↔✓↕✓➙✓➛✓➜❪✓➝, t❏❑➏✓➐➃ ✶✓➂ ✧✪✩✓✫✓✬✓➞✓➟✓➠✓➡✓➢✥✓✐, ❛✓✣✓✤✓➤✓➥⑨ ❷❋✓➦✕ ❷✓❸✓t●✓❥✓➧↕✢➨❪✓➩➏✓➐➃✓➫⑩✓✕✓➭✓➯, ❥ ❇✓❈✓➲✓➳❽ ↕✕✓✚✓✛✓✾ ▲ ❪❲➵❲➸❲➺ ✧➻✩❲✫❲✬➫ “max”, ✰❲✱❲✲❲✳➫ “≤” ➁❲✕❲✖❲✗❲✘❲✙❲✚❲✛❲✾❀②➂❲➼❲➽➁❲✕ ✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✓❄✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹, →✓➘② ❢➵✓➴✓➺❄✓➷✓➬✓✕✓➮❭ ✾ ➱❐✃❐❒ ❮❐❰❐Ï❐Ð❐ÑÓÒÕÔ ✑✓➶✓➹ bi ✹ ✕✥✓✐②★✧✪✩✹ ✕④✓⑤❥ ✶❦✓❧❲Ös♣❲×✓Ø✻❵✔ ❝➔,Ù❲Ú✓Û ✻❪✓➓ ❋ ✔ ❸✕rÜrÝr✾ ❅r❆rÞrß➎rà✓❂✹ ✕✽rá✓ârã➎ ❳rä✑rå✓ærç✓è✢✜➍é✓➎rà✓❂✹, êr➑r➴rë ❜✛ ♦✢ìà✓❂✹ ✕✓➬❸ ✾ ✒ríïî i ðrñròrórÙrÚrÛ tr✻❹ 1 årôr✕rõ i ö ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒r÷rè✓✕rø✓ù➣rú✑ ✕ ❸✓û ✜✭ü✓➎ ❊✓ý❛❝✓❞✓þ➦ ✕❲✬✓ÿ, ❸ qi è✁✓✾ “ú✑ ❸✓û” ✂✁✄✁☎✓➒✓❪✁✆å✓æ✓ç✓è✢✜ ✕✁✝✥✓✦✶✓➂✁✞✓✹✾✠✟✓ø✓ù i ✕þ➦✬ ✦ ✑❢➵ õ✁✡✁☛✓✒✁☞✓✕✁✌✎✍✁✏➔, qi ●✓❥ ❸✓❢☛✓✕ ✴✁✑✁✒✁✓➣å✓æ✓ç✓è✢✜✕✔✓➎, ✖ ø✓ù✓✕þ➦✁✗➎ ▲ ➓ ✌✎✍, qi ✕✹✓t⑧✥✁✘✁✙ ✾ ❹r❪årôr✕rõ i ➓ ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒rè✚r✕✓ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸rûü✓➎, ✂✚✄✚☎r❛õ i ➓ ✰ ✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛✁✜✥✓✦ xn+i s♣✓❪å✓ô✓✾✣✢✕✤➳ ✕➸✓➺✓❏, xn+i s♣✓❪å✓ôý✁✥✁✦✕ ❝ ❞➫ zn+i = cBB−1Pn+i , ✧✁★✔ qi = zn+i (4.1) ▲ t✓✻✓♦, ➒✓❪å✓æ✓ç✓è✢✜✭õ i ✩ ø✓ù✓✕✓à✓❂✹ qi ✪✁✫✁✬è✢✜✭õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛ ✜✥✓✦ xn+i ✕✁✭✓➞❷✓❸✾ ✑✓õ✁✮➵ å✓æ✓ç✓è✢✜✭✕✁✭✓➞❷✓❸ zj ●❝✓❸ zj = Xm i=1 c 0 ia 0 ij = CBB −1Pj ➧ ↕ , ✑✁✯✁✰✓à✓❂✹ ✕✓Ü✓Ý➑, zj ●✓❥ ✒✁✓❸❫✁✱✁✲➜ : zj = Xm i=1 aij qi (4.2) ② ✱ (5.2) ■ ❄✁✳✁✴✓✕✁✵ ì, ✿ ➂✁✶✁✷✂á✓✻❋ ì✕✸✕❲✾ ➫ ✙ ➠×✓❪å❲ô✓✕ xj , →✓➘✁✹✁✺ aij å✓ô✓✕✓õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✓ø✓ù i, ✻⑦❹ aij å✓ô✓✕✓õ i ✩ ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸✓û ✜✭ü✓➎, ✢✭à✓❂✹ ✕✂á✻✓❏, ★✓➔✥✁✦✕ ❝✓❞➫ aij qi , ✢ ★✓●✓➧✁✼✁✱ (5.2)✾
例1.设有以下线性规划问题 m 2=1+52+3g+44 满足 2x1+3z2+x3+2x4≤800（资源1） 5x1+4x2+3x3+4x4≤1200（资源2） 3x1+42+53+3x4≤1000（资源3） (≥0，对一切 令、6、7分别为资源1、2,3的松弛变量，表5-1给出此问题的最优解 表5-1 0 0 0 CB TBb 1 T2 工3 工4 I6 工T 100 0.25 0 -3.25 0 1 0.25 1 200 2.00 L100 -0.75 2.75 00 -0.75 4.25 5 5.75 0 0.25 1 C-2 3.25 0 -2.75 0 0 -0.25-1 利用边际值：可得出： 1.在一定范围内资源i增加1单位，利润就增加。例如资源2,3各增加1单位，利 润就分别增加0.25元及1元，资源1增加1单位，利润不增加，因为表5-1中x6=100, 说明再增加资源只能使不产生利润的松弛变量增加， 2.在已求出最优解表后，如建议生产一种新产品，令其产量为xN,已知其参数aN及 C,要求不必重新计算，就能回答生产这种新产品是否有利。 我们知道生产这种新产品，即N进入最优解的条件为 CN-zN≥0 由(5.2)知 在本例中，如建议生产新产品，产量为x8,已知a18=5,a28=4,a38=3,cg=9,从表 5-1得知，41=0,92=0.25，g=1,所以 28=5×0+4×0.25+3×1=4. c-28=9-4=5≥0. 可见生产这种新产品有利。 第二节对，的灵敏度分析 对的灵敏度分析，就是在不改变原来最优解基变量及其取值的条件下，求出的 允许变动范围。也就是求出C变动值△c的上下限。因C的变化仅影响机会费用和 检验数S一，因此灵敏度分析的基础是：C的变化仍使单纯形表中非基变量的检验数都 保持为小于等于0
2 ✽ 1. ✾ ✔ ❥✓❫✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛: max z = x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4; ✿✁❀ 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 ≤ 800 (ø✓ù 1) 5x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 1200 (ø✓ù 2) 3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 ≤ 1000 (ø✓ù 3) xj ≥ 0, ② ❪ P j. ❁ x5 ⑥ x6 ⑥ x7 ➶✁❂➫ø✓ù 1⑥ 2⑥ 3 ✕✁✛✁✜✥✓✦, è 5–1 ß ➎ ★ ✚✓✛✓✕✓➏✓➐➃ . è 5–1 cj → 1 5 3 4 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 x5 100 0.25 0 −3.25 0 1 0.25 −1 4 x4 200 2 0 −2.00 1 0 1 −1 5 x2 100 −0.75 1 2.75 0 0 −0.75 1 zj 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1 cj − zj −3.25 0 −2.75 0 0 −0.25 −1 ❝✓❸à✓❂✹ qi ●✓➧➎ : 1. ✑❪✽ ✌✎✍✁✏✭ø✓ù i s♣ 1 å✓ô, ❝✓❞✓ts♣ qi ✾ ❜❳ø✓ù 2,3 ❃ s♣ 1 å✓ô, ❝ ❞✓t➶✁❂✓s♣ 0.25 ❄✶ 1 ❄ ✾❀ø✓ù 1 s♣ 1 å✓ô, ❝✓❞■ s♣, ✧➫è 5–1 ✜ x5 = 100, ♦✢ì✕❅s♣ø✓ù, ➥✓❍✓❛✓■✓×➠ ❝✓❞✕✁✛✁✜✥✓✦ x5 s♣ ✾ 2. ✑➋➊➍➌r➎r➏r➐➃è ➑, ❳✚❆✚❇➠×r❪✚✩rÖr×rØ, ❁ ➂×r✦➫ xN , ➊❏➂ ◆✬ aiN ✶ cN , ⑧✓➌■✓→➛ Ö✁✲➜ , t❍✎❈✕❉➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø✻❵✔ ❝ ✾ ❅✓❆✓❏❑➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø, ✻ xN ✰✁❊✓➏✓➐➃✕✓✲✓✳➫ : cN − zN ≥ 0 ✢ (5.2) ❏ zN = Xm i=1 aiN qi . ✑❢❜ ✜ , ❳✁❆✁❇➠×✓Ö✓×✓Ø, ×✓✦➫ x8, ➊❏ a18 = 5,a28 = 4,a38 = 3, c8 = 9, ➣è 5–1 ➧✓❏,q1 = 0, q2 = 0.25,q3 = 1, ✒ ❥ z8 = 5 × 0 + 4 × 0.25 + 3 × 1 = 4, c8 − z8 = 9 − 4 = 5 ≥ 0. ●✁❋➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø✔ ❝ ✾ ➱❍●❐❒ ■ cj ❏❍❑❍▲❍▼❍◆P❖ ② cj ó➅✓➆✓➇✓➈✓➉, t✓✻✑ ■✓❭✓✥✓❴❊ ➏✓➐➃✝ ✥✓✦✶✓➂✁✞❲✹✕✓✲❲✳❫, ➌✓➎ cj ✕ ◗✁❘✥✁✘✌✎✍✭✾❚❙t✓✻➌✓➎ cj ✥✁✘✹ ∆cj ✕➲❫✁❯✾ ✧ cj ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✭✓➞❷✓❸ zj ✯ ❲✁❳✬ cj − zj , ✧✁★➾✓➚✓➪✓➶✓➹✓✕✁✝✁❨✻: cj ✕✥✓✐✁❩✓❛å✓æ✓ç✓è✢✜✕❬✁✝✥✓✦✕❲✁❳✬ ✺ ❭✁❪✓➫✁❫✫✁✪✁✫ 0✾
3 为便于讨论，下面记△c=(0,..,0,△G,0,.,0).下面分两种情况分别讨论 马为非基变量 若)为非基变量则g的变化仅影响马)对应的检验数.当G变化为G与+△G后， 若要维持最优解基变量及其取值不变，则王)对应的检验数必须满足： (9+△c)-≤0 也即 △c≤-(C-) 由上式可知，△c变动的下限为-∞，而变动的上限为-(g一)，即 -∞0e8}s与≤m{ka<ake8} 4.4)
3 ➫✁❴✫➸✓➺, ❫➳✁❵ ∆c = (0, . . . , 0, ∆cj , 0, . . . , 0)✾ ❫➳ ➶✁❛✩✁❜✁❝➶✁❂➸✓➺: ❞⑥ xj ❡✁❢✁❣✁❤✁✐ ✖ xj ➫❬✁✝✥✓✦, ❥ cj ✕✥✓✐✁❱④✓⑤ xj ②✓➬✓✕❲✁❳✬✓✾❚✟ cj ✥✓✐➫ cj + ∆cj ➑, ✖ ⑧✁❦❪➏✓➐➃✝ ✥✓✦✶✓➂✁✞✓✹■✓✥, ❥ xj ②✓➬✓✕❲✁❳✬ →✓➘✿✁❀: (cj + ∆cj ) − zj ≤ 0 ❙ ✻ ∆cj ≤ −(cj − zj ) ✢ ➲✱✓●✓❏,∆cj ✥✁✘✕❫✁❯➫ −∞, ý✥✁✘✕➲❯ ➫ −(cj − zj ), ✻ −∞ 0, k ∈ SN } ✢ ➲❛ ✱✓●✓❏,∆cj ✥✁✘✕➲❫✁❯➫ : max ck − zk a 0 rk |a 0 rk > 0, k ∈ SN ≤ ∆cj ≤ min ck − zk a 0 rk |a 0 rk < 0, k ∈ SN (4.4)
￥ 其中为第r个约束条件方程对应的基变量。上式中不考虑ak=0的情况，这是因为 当ak=0时，的变化不影响k.因基变量的检验数始终为0，故也不考虑基变量 在本章例1中，4为第2个约束条件方程对应的基变量（即r=2),因此有 {2}s山sm{2妥} -0.25≤△c4≤1 3.75≤c4≤5. 2为第3个约束条件方程对应的基变量所以 {器}sa≤血{二} -1≤△c2≤0.33 4≤e2≤5.33. 第三节对，值的灵敏度分析 对：值的灵敏度分析，就是求在最优解基变量保持不变但基变量的取值可以变动的 条件下的变动范围。因为b:的变化仅影响基变量的取值，因此分析的基础是：在的 允许变动范围内，新解的基变量的取值要满足非负约束。若有变量不满足非负约束，就说 ,的变动超出了灵敏度的范围。 前面曾经指出，最优解中基变量的值为XB=B-16 在将“<”形式的约束条件方程转为-”形式时，对第：行的约束条件方程左端要加 个松弛变量xm+,因此，最优解表中B-1可表示如下： an+1d,n+2…a4,n+m B-1= a吃n+1吃n+2…吃n+m 。 dnn+1ann+2…am,ntm 令资源k的数量，的变化数量为△，问题中其它系数不变，则新解中基变量的取 值为： Xg=B-1(b+△)
4 ➂ ✜ xj ➫õ r ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥❲✦✾ ➲✱ ✜■✁①❧② ark = 0 ✕❜✁❝, ▲ ✻✧➫ ✟ ark = 0 ➔,cj ✕✥✓✐✓■④✓⑤ zk ✾ ✧✝ ✥✓✦✕❲✁❳✬✁③✁④➫ 0, ⑤ ❙ ■✁①✁②✝ ✥✓✦✾ ✑❢➵✓❜ 1 ✜ ,x4 ➫õ 2 ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥✓✦ (✻ r = 2), ✧✁★✔ max −3.25 2 , −0.25 1 ≤ ∆c4 ≤ min −2.75 −2 , −1 −1 , −0.25 ≤ ∆c4 ≤ 1, 3.75 ≤ c4 ≤ 5. x2 ➫õ 3 ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥✓✦, ✒ ❥ max −2.75 2.75 , −1 1 ≤ ∆c2 ≤ min −3.25 −0.75 , −0.25 −0.75 , −1 ≤ ∆c2 ≤ 0.33, 4 ≤ c2 ≤ 5.33. ➱❍⑥❐❒ ■ bi Ï ❏❍❑❍▲❍▼P◆⑦❖ ② bi ✹ ✕✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹, t✓✻➌✓✑✓➏✓➐➃✝ ✥✓✦❭✁❪■✓✥✿✁✝✥✓✦✕✞❲✹●❲❥✓✥❧✘✕ ✲✓✳❫ bi ✕✥✁✘✌✎✍✭✾ ✧➫ bi ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✝ ✥✓✦✕✞✓✹, ✧✁★➶✓➹✓✕✁✝✁❨✻: ✑ bi ✕ ◗✁❘✥✁✘✌✎✍✁✏, Ö ➃✕✁✝✥✓✦✕✞✓✹⑧✿✁❀❬✁⑧✓✰❲✱✓✾ ✖ ✔✥✓✦❲■✿❧❀❬❧⑧✓✰✓✱, t✓♦ bi ✕✥✁✘✁✗➎ ✙➾✓➚✓➪✓✕✁✌✎✍✭✾ ✤ ➳✎⑨✕✶✓ã➎ , ➏✓➐➃ ✜✕✝✥✓✦✕✹ ➫ XB = B−1 b✾ ✑❹ “≤” ç✱ ✕✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✁⑩➫ “=” ç✱✓➔, ②✓õ i ö ✕✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✁❶✸ ⑧ ♣ ❪✓➓✛✁✜✥✓✦ xn+i , ✧✁★, ➏✓➐➃è✢✜ B−1 ● è✁❳❫: B −1 = a 0 1,n+1 a 0 1,n+2 . . . a 0 1,n+m a 0 2,n+1 a 0 2,n+2 . . . a 0 2,n+m . . . . . . . . . . . . a 0 m,n+1 a 0 m,n+2 . . . a 0 m,n+m ❁ø✓ù k ✕✓✬✦ bk ✕✥✓✐✬ ✦ ➫ ∆bk, ✚✓✛✢✜➂✁❷✮✓✬■✓✥, ❥✓Ö➃ ✜✕✝✥✓✦✕✞ ✹ ➫ : X N B = B −1 (b + ∆b)
5 其中△b=(0,,0,△，0，.，0)T.要使最优解基变量保持不变只须满足Xg≥0.因 k-1个0 Xg=B-1(b+△b)=B-1b+B-1△b 0 0 +B- △b △beP+ 0 n 0 +△bkai.n+k 的+△bka.n+ n+△bm,n+k] 由此可得+△dm+k≥0，i=1,2,,m,即 △bkam,n+k≥-，i=1,2,…,m (4.5) 若a.m+k>0,则由式(5.5)得 △bs之an+k b! 若a,n+k<0,则由式(5.5)得 ≤兰 由此可得 max {am+ (4.6 在表5-1中，n=4,对△b2有 m{兴婴}s≤血{器) -200≤△b2≤133.33 1000≤b2≤1333.33. 上式有两个意思：第一，资源2可降低到1000单位或增加到1333.33单位，而最优解 的基变量仍然是、工4和x2;第二，在这个范围内增加或减少任何数目的资源2，它的边 际值都是0.25元(g2-6-0.25).例如能多获得100单位的资源2，每单位资源2都可使 利润增加0.25元总利润增加25元
5 ➂ ✜ ∆b = (0, . . . , 0 | {z } k−1➓0 , ∆bk, 0, . . . , 0)T ✾❀⑧❛ ➏✓➐➃✝ ✥✓✦❭✁❪■✓✥, ➥✓➘✿✁❀ XN B ≥ 0✾ ✧ XN B = B−1 (b + ∆b) = B−1 b + B−1∆b = b 0 1 b 0 2 . . . b 0 m + B−1 0 . . . 0 ∆bk 0 . . . 0 = b 0 1 b 0 2 . . . b 0 m + ∆bkP 0 n+k = b 0 1 + ∆bka 0 1,n+k b 0 2 + ∆bka 0 2,n+k . . . b 0 m + ∆bka 0 m,n+k ✢ ★✓●✓➧ b 0 i + ∆bka 0 i,n+k ≥ 0,i = 1, 2, . . . , m, ✻ ∆bkam,n+k ≥ −b 0 i ,i = 1, 2, . . . , m (4.5) ✖ ai,n+k > 0, ❥ ✢ ✱ (5.5) ➧ ∆bk ≥ −b 0 i a 0 i,n+k . ✖ ai,n+k 0,i = 1, 2, . . . , m ) ≤ ∆bk ≤ min ( −b 0 i a 0 i,n+k a 0 i,n+k < 0,i = 1, 2, . . . , m ) (4.6) ✑✓è 5–1 ✜ ,n = 4, ② ∆b2 ✔ max −100 0.25 , −200 1 ≤ ∆b2 ≤ min −100 −0.75 −200 ≤ ∆b2 ≤ 133.33, 1000 ≤ b2 ≤ 1333.33. ➲✱ ✔✁❛➓✁✂✁❸: õ❪, ø✓ù 2 ●✁❹✁❺↕ 1000 å✓ô✁❻✓s♣ ↕ 1333.33 å✓ô, ý ➏✓➐➃ ✕✁✝✥✓✦✁❩✓ê✻ x5 ⑥ x4 ✯ x2; õ✁✮, ✑▲ ➓ ✌✎✍✁✏✭s♣❻þ➦✁❼ä✬★✧✪✕✓ø✓ù 2, ❷ ✕✓à ❂✹✓✺✓✻ 0.25 ❄ (q2 = z6 = 0.25). ❜❳❍ ⑩✁❽➧ 100 å✓ô✓✕✓ø✓ù 2, ❾ å✓ô✓ø✓ù 2 ✺●✓❛ ❝✓❞s♣ 0.25 ❄, ❿❝✓❞s♣ 25 ❄ ✾
6 如：的变化在灵敏度分析的范围内，就不要对问题重新求解，而可用下式得出新解 (约束条件方程是“≤”型) XN=X0+(△b)P+W 其中XN 新的解向量 x0一原来解向量 一在最优单纯形表中工n+k对应的列向量 在上例中如取△2=100，原来最优解是 X0=(100,200,100)T P+2==(0.25,1，-0.75) xg100 0.25 125 xN= 200 +100× 1.00 300 100 -0.75 25 总利润是125×0+300×4+25×5=1325（元），比原来增加25元. 第四节对值的灵敏度分析 对，的灵敏度分析，是指在不改变最优解基变量及其取值的条件下，求a的允许 变动范围.由XB-B-b,-cBB-1P知a的变化，对最优解的取值和检验数都有影 响。下面分两种情况分别进行讨论. 一、为基变量 工为基变量，又分为两种情况讨论： (一入、资源i全部用完： 此时若△>0，即单位产品方消耗的资源i增加，原有资源i就不够用，原来的最 优解就不再是可行解.因此必须有△a,≤0.另一方面，若△0,就减少松弛变量工+.只要不减为负数，原来最优解仍是可行解 又因松弛变量在目标函数中的系数为0，松驰变量的减少不减少利润，原来的解仍保持最 优。第j种产品消耗的第i种资源的增加量为△，它不应超过第i种资源的松孢变量 的取值（第i种资源的剩余量），即△<工m+。反之a的减少，只能增加不产生利润 的资源i,也不会变更最优解所以△与的下限为-o。因此 二、不为基变量
6 ❳ bi ✕✥❲✐✑❲➾❲➚❲➪❲➶❲➹❲✕❧✌➀✍❧✏, t■ ⑧❲②❲✚❲✛➛ Ö ➌➃ , ý●❸❫❧✱❲➧➎ Ö ➃ (✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✻ “≤” ➁ ): X N = X 0 + (∆bk)P 0 n+k ➂ ✜ XN—— Ö ✕➃✎➁✦; X0—— ❴❊➃✎➁✦; P 0 n+k—– ✑✓➏✓➐✓å✓æ✓ç✓è✢✜ xn+k ②✓➬✓✕✁➂ ➁✦ ✾ ✑ ➲❜ ✜ , ❳✁✞ ∆b2 = 100, ❴❊ ➏✓➐➃ ✻ X0 = (100, 200, 100)T , P 0 4+2 = P 0 6 = (0.25, 1, −0.75)T , X N = x N 5 x N 4 x N 2 = 100 200 100 + 100 × 0.25 1.00 −0.75 = 125 300 25 . ❿❝✓❞✓✻ 125 × 0 + 300 × 4 + 25 × 5 = 1325(❄), ➨❴❊ s♣ 25 ❄ ✾ ➱➄➃❒ ■ aij Ï ❏❍❑❍▲❍▼P◆P❖ ② aij ✕❲➾❲➚❲➪❲➶❲➹, ✻❲ã✑ ■❲❭❲✥➏❲➐➃✝ ✥❲✦✶❲➂❧✞❲✹✕❲✲❲✳❫, ➌ aij ✕❧◗❧❘ ✥✁✘✌✎✍✭✾➅✢ XB = B−1 b,zj = cBB−1Pj ❏ aij ✕✥✓✐, ②✓➏✓➐➃✕✞✓✹✓✯❲✁❳✬ ✺ ✔④ ⑤✾ ❫➳ ➶✁❛✩✁❜✁❝➶✁❂✁✰ö✓➸✓➺✾ ❞⑥ xj ❡✁❣✁❤✁✐ xj ➫✝ ✥✓✦, ➆➶➫❛ ✩✁❜✁❝✓➸✓➺: (❞)⑥ ñ✓ò i ➇✁➈✁➉✁➊: ★✓➔✁✖ ∆aij > 0, ✻å✓ô×✓Ø j ✹✁✺✕✓ø✓ù i s♣, ❴ ✔✓ø✓ù i t■✁➋❸✁♥ ❴❊ ✕✓➏ ➐➃ t■❅✓✻●✓ö➃✾ ✧✁★✓→✓➘✔ ∆aij ≤ 0✾❀✉❪✴ ➳, ✖ ∆aij 0, t✓þ➦ ✛✁✜✥✓✦ xn+i ✾ ➥⑧ ■þ ➫⑧✓✬, ❴❊ ➏✓➐➃ ❩✻●✓ö➃✾ ➆✁✧✛✁✜✥✓✦✑★✧✪✩✓✫✓✬✢✜✭✕✓✮✓✬➫ 0, ✛✁✜✥✓✦✕þ➦✓■þ➦❝✓❞, ❴❊ ✕➃ ❩❭✁❪➏ ➐✓✾ õ j ✩✓×✓Ø✁✹✁✺✕✓õ i ✩ ø✓ù✓✕✓s♣✓✦➫ ∆aijxj , ❷■➬ ✗➍ õ i ✩ ø✓ù✓✕✁✛✁✜✥✓✦ ✕✞✓✹ (õ i ✩ ø✓ù✓✕✁➛✁➜✦), ✻ ∆aijxj < xn+i ✾❚➝✁➞ aij ✕þ➦, ➥✓❍s♣✓■✓×➠ ❝✓❞ ✕✓ø✓ù i, ❙ ■➞ ✥q ➏✓➐➃ , ✒ ❥ ∆aij ✕❫✁❯➫ −∞✾ ✧✁★ −∞ < ∆aij < xn+i xj . s⑥ xj ➟✁❡✁❣✁❤✁✐
1 若工不为基变量，则a与的变化仅影响机会费用方和检验数C-.此时，不论资 源1是否全部用完，的增加都没有限制.因的增加将使检验数更小，不会改变最优 解。从经济上讲，每单位的)种产品在消耗的资谭为时就已不能进入基变量不生 产)，那么消耗更多的资源i就更不可能使工，进入基变量.，的减少将使得机会费用 减少，从而使检验数G一增加。所以△的下限应保证G一名不能增至正数。 根据(5.2)式，得 记新的a=a+△a,用表示新的，用号表示原来的，则有 (4.7) 要满足9-为≤0，必须 Gy-=G-号-△a9≤0 由上式可得 △ar4≥S-9 对“<”的约束条件，为正值（对“≥”的约束条件，为负值），所以 △a1≥9-立（仍写成） (4.8) 所以当)不在基变量内时，不论资源i是否被全部用完，的灵敏度范围为 20i12m (4.9) 在本章例1中，可以算出 -00<△a11<0o,-13≤△a21<o, 第五节灵敏度分析应用示例 某工厂使用五种生产方法，生产A、B和C三种产品，有关数据如表52、53所列 表52 每批 生产方法 产量 2345 单位售价（元） 产品 A 32440 10 B 2 6518 4
7 ✖ xj ■ ➫✝ ✥✓✦, ❥ aij ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✭✓➞❷✓❸ zj ✯❲✁❳✬ cj − zj ✾ ★✓➔, ■✓➺ø ù i ✻❵➎✁➐❸✁➑, aij ✕✓s♣✺✁➠✔❯✁➡✾ ✧ aij ✕✓s♣✓❹✓❛❲✁❳✬ q ❫ , ■➞ ❭✓✥➏✓➐ ➃✾ ➣ ✶✁✷✓➲✁➢, ❾ å✓ô✓✕ j ✩✓×✓Ø✑ ✹✁✺✕✓ø✓ù➫ aij ➔ xj t ➊■✓❍✰✁❊✁✝✥✓✦ (■ ➠ ×), ➤ ➢ ✹✁✺q ⑩✓✕✓ø✓ù i t✁q■✓●✓❍✓❛ xj ✰✁❊✁✝✥✓✦✾ aij ✕þ➦✓❹✓❛✓➧✭✓➞❷✓❸ zj þ➦, ➣ ý❛❲✁❳✬ cj − zj s♣ ✾❀✒❥ ∆aij ✕❫✁❯➬❭✵ cj − zj ■✓❍s✁➥➒✬✓✾ ➦✁➧ (5.2) ✱, ➧ zj = Xm i=1 aij qi ❵Ö ✕ a N rj = arj + ∆arj , ❸ z N j è✁Ö ✕ zj , ❸ z 0 j è✁❴❊ ✕ zj , ❥✔ z N j = Xm i=1 aij qi + ∆arj qr = z 0 j + ∆arj qr (4.7) ⑧✿✁❀ cj − zj ≤ 0, →✓➘ cj − z N j = cj − z 0 j − ∆arj qr ≤ 0. ✢ ➲✱✓●✓➧ ∆arj qr ≥ cj − z 0 j ② “≤” ✕✓✰✓✱✓✲✓✳, qr ➫✁➒✹ (② “≥” ✕✓✰✓✱✓✲✓✳,qr ➫⑧✹), ✒ ❥ ∆arj ≥ cj − zj qr (z 0 j ❩✁➨❡ zj ) (4.8) ✒ ❥ ✟ xj ■ ✑✁✝✥✓✦ ✏➔, ■✓➺ø✓ù i ✻❵✁➩➎✁➐❸✁➑, aij ✕✓➾✓➚✓➪✁✌✎✍➫ : cj − zj qi ≤ ∆aij < ∞, i = 1, 2, . . . , m (4.9) ✑❢➵✓❜ 1 ✜ , ●✓❥ ➜➎ −∞ < ∆a11 < ∞, −13 ≤ ∆a21 < ∞, . . . ➱❍➫❐❒ ❑❍▲❍▼❍◆❍❖ÒÓÔ⑦➭P➯ ➒ ❃✁➲❛❸✁➳✩ ➠×✴✁✑, ➠× A⑥ B ✯ C ✡ ✩✓×✓Ø, ✔✁➵✓✬✁➧❳è 5-2⑥ 5-3 ✒✁➂✓✾ è 5–2 ❾✁➸ ➠×✴✁✑ ×✓✦ 1 2 3 4 5 å✓ô✁➺✁➻ (❄) ×✓Ø A 3 2 4 4 0 10 B 6 1 2 1 4 5 C 2 6 5 1 8 4
表5-3 资源 生产方在 值都 2 3 45 可取得数量 资源 蜜内 4 612 0 1211 50 每讨为（ 481930447 有特合同负秒六少生产0单位的 为用第 您中打在的对数童，5为A的产量超过110单位的数 字立为题+性综男肿机器 况的棋响即： max=20x1+30r2+40x3+5E4+45x元 满足 3z1+22+4r3+44-6=110 4x2+6x3+xA+2x5+x2=80 1+2+2x3+x4+5+x8=50 ≥0.j=1,2,.,8 最部四表5-， 表5-4 20304054500 0 CB TB 1 工2 工3 T4工5 6 37 26 0.4 0 -0.2 -0.2 0.4 05 -0.2 0.3 0.6 工 8 0 0.2 05 0.4 -0.1 1.2 对 2030 59 12.5 45 0.5 44 0 -19 -75 0 -05 -44 相度分的例利， 何应用上面节讨论的结论 持 ,问即否之 上下最为 基变量为本二加2作就即况_减少2 安安四 作 6.4,4g的 也就即 -1.67<△c<40 28.33≤c2≤70 对应晶瓷猛青酸2能会下限所泗的保支有上表可测全A的下限即在 此第2 则 检数第个取得 综赫将分
8 è 5–3 ø✓ù ➠×✴✁✑ ✹✁✺ 1 2 3 4 5 ●✞➧✬ ✦ ø✓ù ❃➔ (h) 0 4 6 1 2 80 ✭✁➼❫➔ 1 1 2 1 1 50 ❾✁➸❡✓❢ (❄) 48 19 30 44 7 —- ✔❪✓ë✁➽⑧✓➌✁➥➦ ➠× 110 å✓ô✓✕ A✾ ✾ xj ➫❛❸õ j ✩ ➠×✴✁✑✓✕➸✬ ,j = 1, 2, . . . , 5,x6 ➫ A ✕×✓✦✁✗➍ 110 å✓ô✓✕✓✬ ÿ , x7 ➫✛✁✜✓❃➔, x8 ➫✛✁✜✁✭✁➼❫➔, ❥➌✓➏✓❤❝✓❞✕✓➀✓➁✻: max z = 20x1 + 30x2 + 40x3 + 5x4 + 45x5 ✿✁❀ 3x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 − x6 = 110 4x2 + 6x3 + x4 + 2x5 + x7 = 80 x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 + x8 = 50 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 8 ➏✓➐➃ ❳è 5–4✾ è 5–4 cj → 20 30 40 5 45 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 20 x1 26 1 0 0.4 1 0 −0.2 −0.2 0.4 30 x2 16 0 1 1.4 0.5 0 −0.2 0.3 −0.6 45 x5 8 0 0 0.2 −0.5 1 0.4 −0.1 1.2 zj 20 30 59 12.5 45 8 0.5 44 cj − zj 0 0 −19 −7.5 0 −8 −0.5 −44 ❅✓❆✁①✁②❳❫✁➾✁✩✁➚➷✁➪✁➶✓✕❜✁❝♥❚➹❪➹✓❳✓ä➬ ❸✓➲✓➳➾ ☛➸✓➺✕➴✓➺. (❪) ❳✁➘õ 2 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❾✁➸❡✓❢❽✓❾↕ 21 ❄, ✚✻❵➞ ❭✓✥➏✓➐➃ ? ✧ x2 ➫✝ ✥✓✦, ❡✓❢s♣ 2 ❄t✓✻✓❝✓❞✓þ➦ 2 ❄, ✻ c2 ⑧✥✁✘, ➦✁➧✱ (5.4), ∆c2 ✕ ➲❫✁❯➫ : max{ −19 1.4 , −7, 5 0.5 , −0.5 0.3 } ≤ ∆c2 ≤ min{ −8 −0.2 , −44 −0.6 } ❙ t✓✻ −1.67 ≤ ∆c2 ≤ 40 28.33 ≤ c2 ≤ 70 ✧➫ c2 þ➦ 2 ❄✚✗➎ ❫✚❯, ✒ ❥➏r➐➃⑧❭r✥✾❚✢ ➲✱r●r❥ ➹ ➎ , ∆c2 ✕❫✚❯✻ ✑ x7 ②✓➬✓✕✁➂✁➴↕✕ , ✧✁★õ 2 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❝✓❞❫✁❹↕ 28.33 ❄✓❥✓❫✓➔, ❲✁❳✬✓õ❪✓➓✞➧ ➒✬✓✕✁❬✁✝✥✓✦➫ x7, ✻ x7 ✰✁❊✓➏✓➐➃✾➷✢✭è 5–4 ●✓❥ ➹ ➎ , ✟ x7 = 1 ➔, x1 ✯ x5 ❹ ➶
9 别增加0.2和0.1,2将减少0.3,2是换出变量，新最优解为： =品=53号 工1-26+0.2×535-36号 x5=8+0.1×53元=13 二)如果产品B的单位售价增加到6元.是否影向最优解？ B的单位售价增加，五种生产方法的G值都要变动，这是一个参数规划问题.但是可 用灵敏度分析的知识也可解决，只是方法较繁 1.求出新的c,值.c1=26.c2=31.c3=42.c4=6.c5=49: 2.将新S值代替表5-4中的9值，重新计算名和c-,并检验是否最优.计算结 果见表5-5. 表5-5 Ci 263142 64900 0 1 0. 16 0 =0.6 r. 0 1 2 31 63.6 17 8.2 50.6 Ci-21 00 -21.6 -11 -8.2 0.8 -50.6 表5一5尚未达到最优，须将？换入基本量内.解的变化与第一种情况相似. (三)现在每工时的工资为3元如果加班要另付加班费每小时15元，问加班能否 使利润增加？ 从表54可以看出，工时（第2种资源的边际值2=7=0.5元这就意味着工时 增加1小时，利润将增加0.5元，但现在要多付出1.5元的加班费，因此加班不能使利润增 加 (四)如果每小时只另付加班费0.3元，问加班是否有利如果有利，在保持基变量不 变的前提下可加班多少时间？ 因加班1小时增加利润0.5元超过支出，所以加班是有利的.为确定有利的加班小 时数，可对2进行灵敏度分析.根据式(5.6)得： max{}≤Ab2≤min{=，} -533≤△b2≤80. 由上可见，最多可加班80小时，可增加利润(0.5-0.3)×80-16元.新的最优解为 如果加班时间超过80h,最优解的基变量就要变动，这就成了参数规划。 (五)如果新购一台机器，构价300000元每天可增加8个机器小时，机器可使用5 年，每年工作250工作日，问是否有种
9 ❂✓s♣ 0.2 ✯ 0.1,x2 ❹þ➦ 0.3, x2 ✻✁➬➎ ✥✓✦, Ö ➏✓➐➃✓➫: x7 = 16 0.3 = 53 1 3 , x1 = 26 + 0.2 × 53 1 3 = 36 2 3 , x5 = 8 + 0.1 × 53 1 3 = 13 1 3 . (✮ ) ❳✁➘×✓Ø B ✕✓å✓ô✁➺✁➻✓s♣ ↕ 6 ❄, ✻❵ ④✓⑤➏✓➐➃ ? B ✕✓å✓ô✁➺✁➻✓s♣, ➳✩ ➠×✴✁✑✓✕ cj ✹✓✺⑧✥✁✘, ▲ ✻❪✓➓◆✬✓✘✓✙✓✚✓✛✓✾ ✿ ✻● ❸➾✓➚✓➪✓➶✓➹✓✕❏✁➮❙ ● ➃✣♥ ➥✻✴✁✑✓❣✁➱✓✾ 1. ➌✓➎ Ö ✕ cj ✹. c1 = 26,c2 = 31,c3 = 42,c4 = 6,c5 = 49; 2. ❹✓Ö cj ✹ ÷✁✃✓è 5–4 ✜✭✕ cj ✹, ➛ Ö✁✲➜ zj ✯ ci − zj , â ❲✁❳✻❵➏✓➐✓✾ ✲ ➜ ➴ ➘❋è 5–5✾ è 5–5 cj → 26 31 42 6 49 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 26 x1 26 1 0 0.4 1 0 −0.2 −0.2 0.4 31 x2 16 0 1 1.4 0.5 0 −0.2 0.3 −0.6 49 x5 8 0 0 0.2 −0.5 1 0.4 −0.1 1.2 zj 26 31 63.6 17 49 8.2 −0.8 50.6 cj − zj 0 0 −21.6 −11 0 −8.2 0.8 −50.6 è 5–5 ❐❉➴↕➏✓➐, ➘✓❹ x7 ➬ ❊✁✝❢✦ ✏✭✾ ➃✕✥✓✐✁❒õ❪✁✩✁❜✁❝➷✇ ✾ (✡ ) ú✑❾ ❃➔ ✕✓❃✓ø➫ 3 ❄, ❳✁➘♣✓q, ⑧✓✉✁❮♣✓q❷❾ ❫➔ 1.5 ❄, ✚♣✓q✓❍✓❵ ❛❝✓❞s♣? ➣è 5-4 ●❲❥ ➹ ➎ , ❃➔ (õ 2 ✩ ø❲ù) ✕❲à❲❂✹ q2 = z7 = 0.5 ❄, ▲ t✂❧✄❧☎❃➔ s♣ 1 ❫➔, ❝✓❞❹ s♣ 0.5 ❄, ✿ú✑✓⑧✓⑩✁❮✓➎ 1.5 ❄ ✕♣✓q❷, ✧✁★✓♣✓q✓■✓❍✓❛❝✓❞s ♣ ✾ (❰) ❳✁➘❾ ❫➔✓➥✉✁❮♣✓q❷ 0.3 ❄, ✚♣✓q✻❵✔ ❝? ❳✁➘✔ ❝, ✑❭✁❪✝ ✥✓✦✓■ ✥ ✕✁✤❽✓❫✓●✓♣✓q⑩➦✓➔✁Ï? ✧✓♣✓q 1 ❫➔ s♣❝✓❞ 0.5 ❄, ✗➍✁Ð➎ , ✒ ❥✓♣✓q✻ ✔ ❝ ✕✓✾ ➫❖✽ ✔ ❝ ✕♣✓q❫ ➔ ✬ , ● ② b2 ✰ ö ➾✓➚✓➪✓➶✓➹✓✾❚➦✁➧✱ (5.6) ➧: max{ −16 0.3 } ≤ ∆b2 ≤ min{ −26 −0.2 , −8 −0.1 }, −53 1 3 ≤ ∆b2 ≤ 80. ✢ ➲●✁❋, ➏✓⑩●✓♣✓q 80 ❫➔, ● s♣❝✓❞ (0.5 − 0.3) × 80 = 16 ❄ ✾ Ö ✕✓➏✓➐➃✓➫: x1 x2 x5 = 26 16 8 + 80 × −0.2 0.3 −0.1 = 10 40 0 ❳✁➘♣✓q✓➔✁Ï✁✗➍ 80h, ➏✓➐➃✕✁✝✥✓✦t ⑧✥✁✘♥ ▲ t✓❡✙◆✬✓✘✓✙✓✾ (➳) ❳❧➘Ö❧Ñ❲❪❧Ò ✭❧➼, Ó➻ 300000 ❄, ❾❧Ô❲●s♣ 8 ➓ ✭❧➼❫➔, ✭❧➼●❲❛❸ 5 Õ , ❾ Õ❃✓❄ 250 ❃✓❄×Ö , ✚✻❵✔ ❝?
10 从表5-4可得机器小时的边际值是44元(3=28=44元，假定没有随新机器发生 的费用，每机器小时的成本为30元，所以新增机器是有利的 (六)问增加3台新机器是否有利 对作灵敏度分析 max{浮，}≤△bg≤min(二品} -6号<△b<26号. 可见增加3台机器即每天增加24机器小时在△的允许范围内，每天可增加利润 (44-30)×24=336(元). (七)如题中所述，公司按合同每天至少供应110单位A.如变更合同，减少供应量 是否有利 变更合同将影响公司的信誉和工厂与顾客的关系等因素，应该由决策人考虑.从运筹 学角度说，由于合同的约束条件是“≥”形式的，因此产品A的边际值是-8元这意味着 减少1单位的供货合同，将增加利润8元.△b1的灵敏度范围是-80≤△b1≤20，可知合 同减少80单位，利润可增加640元，新的最优解是： 至于在减少80单位以后，再进一步减少合同供货数，是否可增加利润，这里不再讨论. (八)第4种生产方法的成本要降低到什么程度才能增加利润？ 从表5-4看出，x4是非基变量，灵敏度分析给出了工4不能进入最优解的范围，也就是 说△c4超过这个范围，x4就进入最优解.根据式(.3)，这个范围是： -oo<△c4<-(-7.5). 这就是第4种生产方法的成本降低75元以上，就可以采用使利润增加 (九)如果改变第3种生产方法使每批产品中的A由4单位增至5单位而不影响 B和C的产量但将增加成本10元问此建议是否可取？ 这个建议使a1s由4变为5，即△a13=1,而cg没有改变，因成本增加数正好被1 单位A的售价所补偿.对a13(x3不是基变量)的灵敏度分析指出（根据式(5.9），-心< △a13<二现△a13在此范围内.所以最优解不变.亦即这个建议不可取 (十)如果采取一些措施，使第3种生产方法每批产品所消耗的机器小时由2降至 1.5,而增加的费用和减少机器小时而节约的数字恰好相等，问是否要采纳这个建议？ 此时△ag=-0.5.而△a3的上下限为 -0.4318≤△a33<0 可见3的变化已超过灵敏度范围，必然使最优解变动，使3进入最优解因此应采纳这 个建议
10 ➣è 5–4 ●✓➧✭✁➼❫➔ ✕✓à✓❂✹✓✻ 44 ❄ (q3 = z8 = 44 ❄), Ø✽✁➠✔✁ÙÖ ✭✁➼✓➟✓➠ ✕❷✓❸, ❾ ✭✁➼❫➔ ✕❡✓❢➫ 30 ❄, ✒ ❥✓Ös✁✭✁➼ ✻ ✔ ❝ ✕✓✾ (Ú) ✚✓s♣ 3 Ò✓Ö✭✁➼ ✻❵✔ ❝? ② b3 ❄✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹: max{ −26 0.4 , −8 1.2 } ≤ ∆b3 ≤ min{ −16 −0.6 }, −6 2 3 ≤ ∆b3 ≤ 26 2 3 . ●❧❋s♣ 3 Ò ✭❧➼✻❧❾❧Ôs♣ 24 ✭❧➼❫➔ ✑ ∆b3 ✕❧◗❧❘❧✌➀✍❧✏, ❾❧Ô❲●s♣❝❲❞ (44 − 30) × 24 = 336(❄). (Û) ❳✛ ✜✒❧Ü, ✼❧Ý❧Þ❲ë❧➽❧❾❧Ô➥➦❧ß➬ 110 å❲ô A✾ ❳✥që❧➽, þ➦❧ß➬ ✦, ✻❵✔ ❝? ✥që✚➽r❹④r⑤✼✚Ý✕r➭✁à✯❃✁➲❒✁á✚â✕✚➵✓✮✪✧✁ã, ➬✬ ✢ ✣r✤❯①✚②✾ ➣✚ä✚å ❿✁♠✓➪♦, ✢ ✫ë✁➽✕✓✰✓✱✓✲✓✳✻ “≥” ç✱ ✕ , ✧✁★✓×✓Ø A ✕✓à✓❂✹✓✻ −8 ❄, ▲ ✂✁✄✁☎, þ➦ 1 å✓ô✓✕ß✁æ✓ë✁➽, ❹ s♣❝✓❞ 8 ❄ ✾ ∆b1 ✕✓➾✓➚✓➪✁✌✎✍✻ −80 ≤ ∆b1 ≤ 20, ●✓❏✓ë ➽þ➦ 80 å✓ô, ❝✓❞● s♣ 640 ❄, Ö ✕✓➏✓➐➃ ✻: x1 x2 x5 = 26 16 8 + (−80) × 0.2 0.2 −0.4 = 10 0 40 ➥✫✑þ➦ 80 årô❥r➑, ❅ ✰ ❪✚çþ➦rë✚➽✚ß✚æ✬ , ✻❵r●s♣❝r❞, ▲✚è■❅➸r➺. (é) õ 4 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❡✓❢⑧❹✁❺↕➡✓➢✓✵✓➪✁ê❍ s♣❝✓❞? ➣è 5–4 ➹ ➎ , x4 ✻ ❬✚✝✥r✦, ➾r➚r➪r➶r➹ß ➎ ✙ x4 ■r❍✰✚❊r➏r➐➃✕✚✌ë✍, ❙ tr✻ ♦, ∆c4 ✗➍▲ ➓ ✌✎✍, x4 t ✰✁❊✓➏✓➐➃✾❚➦✁➧✱ (5.3), ▲ ➓ ✌✎✍✻: −∞ < ∆c4 ≤ −(−7.5). ▲ t✓✻õ 4 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❡✓❢❹✁❺ 7.5 ❄✓❥ ➲, t●✓❥✁ì❸, ❛❝✓❞s♣ ✾ (í) ❳❧➘❭❲✥õ 3 ✩ ➠×✴❧✑, ❛❧❾❧➸❲×❲Ø ✜✕ A ✢ 4 å❲ô❲s❧➥ 5 å❲ôý■ ④❲⑤ B ✯ C ✕×✓✦, ✿ ❹ s♣❡✓❢ 10 ❄, ✚★❆✁❇✓✻❵✓●✞? ▲ ➓❆❧❇❛ a13 ✢ 4 ✥ ➫ 5, ✻ ∆a13 = 1, ý c3 ➠ ✔❭❲✥, ✧❡❲❢s♣✬➒❧î➩ 1 å❲ô A ✕❧➺❧➻❲✒❧ï❧ð❲✾❀② a13(x3 ■✻ ✝ ✥❲✦) ✕❲➾❲➚❲➪❲➶❲➹ã ➎ (➦❧➧✱ (5.9), −∞ < ∆a13 ≤ −19 −8 ✾ ú ∆a13 ✑ ★ ✌✎✍✁✏, ✒ ❥ ➏✓➐➃ ■✓✥, ñ✁✻▲ ➓❆✁❇■✓●✞ ✾ (ò) ❳❧➘ì✞❪ ▼❧ó❧ô, ❛ õ 3 ✩ ➠×✴❧✑❾❧➸❲×❲Ø✒ ✹❧✺✕❧✭õ➼❫➔ ✢ 2 ❹ ➥ 1.5, ý s♣ ✕❷✓❸✓✯✓þ➦ ✭✁➼❫➔ý☛✓✰✓✕✓✬✓ÿ✁öî➷✪, ✚✻❵⑧ ì✁÷▲ ➓❆✁❇? ★✓➔ ∆a33 = −0.5, ý ∆a33 ✕➲❫✁❯➫ −0.4318 ≤ ∆a33 < ∞ ●✁❋ a33 ✕✥✓✐ ➊✗➍ ➾✓➚✓➪✁✌✎✍, →✓ê✓❛➏✓➐➃ ✥✁✘, ❛ x3 ✰✁❊✓➏✓➐➃ , ✧✁★➬ ì✁÷▲ ➓❆✁❇✾